Question

3．如图，地面上有一固定的半圆形圆柱面，圆柱面的斜上方P处有一质点，过P点的竖直直线恰好与圆相切于Q点，已知半圆形圆柱面半径为R=3m．PQ=2R=6m．现在确定一条从P到圆柱的光滑斜面轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到圆柱面上所经历的时间最短．求该斜面轨道与竖直方向的夹角θ，并计算最短时间t．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

Answer 1

分析 以P点为圆周的顶点，以一定长度r为半径作一个与半圆柱相切的竖直圆周，从P点到切点建立一光滑斜面轨道，则质点沿该轨道到圆柱上所用时间最短，根据几何关系求出半径，牛顿第二定律求出下滑时的加速度，再根据运动学基本公式求出时间．

解答 解：以P点为圆周的顶点，以一定长度r为半径作一个与半圆柱相切的竖直圆周，从P点到切点建立一光滑斜面轨道，则质点沿该轨道到圆柱上所用时间最短，由图根据几何关系得：
tanθ=$\frac{R}{2R-r}$
（R+r）²=R²+（2R-r）²
由以上两式可解得：r=$\frac{2}{3}R=2m$，tanθ=0.75，则θ=37°，
质点从该轨道滑到圆周上的位移s=2rcosθ，下滑的加速度为a=gcosθ，
根据s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{4r}{g}}$
则最短时间${t}_{min}=\sqrt{\frac{4r}{g}}=\sqrt{\frac{8}{10}}=0.9s$
答：该斜面轨道与竖直方向的夹角为37°，最短时间t为0.9s．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律与运动学公式得综合应用，考查了数学知识解决物理问题的能力，要明确沿什么路径下滑时时间最短，难度适中．