Question

4．如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=2$\sqrt{3}$m/s，物块A质量为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，取g=10m/s²．求：

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小．
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度．
（3）物块A仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l满足什么条件时，物块A能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道．

Answer 1

分析 （1）物块A从Q到P过程中，运用动能定理，结合摩擦力做功，从而求出物块A与弹簧刚接触时的速度大小．
（2）根据运动学公式求得回到圆轨道的速度大小，再根据动能定理求出A能够上升的高度，并讨论能否达到此高度．
（3）A物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道，要么能够越过圆轨道的最高点，要么在圆轨道中上升的高度不要超过圆轨道的半径，结合动能定理和牛顿第二定律求出l所满足的条件．

解答 解：（1）物块A冲上圆形轨道后回到最低点速度为v₀=2$\sqrt{3}$m/s，
与弹簧接触瞬间，-μmgl=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
可得，物块A与弹簧刚接触时的速度大小v₁=2$\sqrt{2}$m/s；
（2）A被弹簧以原速率v1弹回，向右经过PQ段，
有v₂²-v₁²=-2μgl；解得A速度 v₂=2m/s，
A滑上圆形轨道，有-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₂²，
（也可以应用-μ×mgl-mgh=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²）
可得，返回到右边轨道的高度为h=0.2m=R，符合实际．
（3）物块A以v₀冲上轨道直到回到PQ段右侧，
有v₁′²-v₀²=-2μg×2l，
可得，A回到右侧速度：v₁′²=（12-8l）（m/s）²，
要使A能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道，则有：
①若A沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则h满足：0＜h≤R，
根据机械能守恒：$\frac{1}{2}$mv₁′²=mgh联立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足：$\frac{1}{2}$mv₁′²=mg×2R+$\frac{1}{2}$mv₂′²且m$\frac{{v}_{2}^{′2}}{R}$≥mg，
联立得 l≤0.25m，综上所述，要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，
l满足的条件是1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m；
答：（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小为2$\sqrt{2}$m/s．
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度0.2m．
（3）A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道的条件是：1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．