Question

10．如图所示，在xoy平面内有一直线l，其方程为y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，在直线上方存在电场强度为E、方向垂直l向下的匀强电场，直线下方存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．现有一质量为m、所带电荷量为+q的粒子（重力不计），在纸面内从直线上某点M（在O点右方）以速度v=$\frac{E}{B}$射入磁场，已知运动方向与l夹角为θ=30°．求：
（1）粒子在运动过程中距直线l的最远距离；
（2）M点距O点多远时粒子才能通过O点．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类斜上抛运动，分别求出粒子距离l的最大位移，然后比较，得出哪一个是最远距离；
（2）由于电场的方向与l垂直，粒子经过l时，电场力对粒子做的功为0，所以每一次粒子在磁场中的运动与在电场中的运动的轨迹是相似的，具有周期性，由此即可得出结论．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类斜上抛运动，运动的轨迹如图，设粒子在磁场中运动的半径为R，则：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{mE}{q{B}^{2}}$
在磁场中运动的粒子距离l的最远距离设为d₁，则：
d₁=R-Rcos30°
所以：${d}_{1}=（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$
在电场中运动的粒子距离l的最远距离设为d₂，则：
${d}_{2}=\frac{（vsin30°）^{2}}{2a}$
又：qE=ma
联立得：${d}_{2}=\frac{mE}{8q{B}^{2}}＜{d}_{1}$
所以，粒子在运动过程中距直线l的最远距离是$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由几何关系得：
${l}_{MA}=R=\frac{mE}{q{B}^{2}}$
粒子第一次过l后受到垂直于l的电场力的作用，设粒子再次运动到l的时间为t，沿电场线的方向：$vsin30°=\frac{qE}{m}•t$
得：$t=\frac{mv}{qE}=\frac{m}{qB}$
垂直于电场线的方向：${l}_{AC}=v•cos30°•t=\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}$
由运动的周期性可知，当${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）$（n=1、2、3…）或${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）+\frac{mE}{q{B}^{2}}$（n=1、2、3…）时，粒子均能过O点．
答：（1）粒子在运动过程中距直线l的最远距离是$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$；
（2）当${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）$（n=1、2、3…）或${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）+\frac{mE}{q{B}^{2}}$（n=1、2、3…）时，粒子均能过O点．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，该题中由于电场的方向由于l垂直，粒子在电场中的运动是类斜上抛运动，这是该题与其他的带电粒子在电场中运动的题目明显不一样的地方，这是正确解题的关键．