Question

2010年10月11日，我国成功发射了“嫦娥二号”探月卫星，卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，已知月球半径为R₀，月球表面处重力加速度为g₀，
（1）试推导卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度h的表达式；
（2）地球和月球的半径之比为

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，求地球和月球的密度之比；
（3）绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比．

Answer 1

分析：“嫦娥二号”星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式．
忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解．
根据密度的公式和已知量表示出密度进行之比．

解答：解：（1）“嫦娥一号”星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式，

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r   ①
在月球表面，根据万有引力等于重力列出等式：

GMm

R 2 0

═mg₀  ②
卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，所以T=

t

n

  ③
r=R₀+h   ④
由①②③④解得：h=

3	R 2 0 g0t2 4n2π2

-R0
（2）在星球表面，根据万有引力等于重力列出等式

GM′m

R2

=mg⑤
ρ=

M′

V

  ⑥
已知地球和月球的半径之比为

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，⑦
由⑤⑥⑦解得地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

3

2

．
（3）根据万有引力提供向心力列出等式：

GMm

r2

=m

v2

r

根据万有引力等于重力列出等式：

GMm

r2

=mg
v=

gr

已知地球和月球的半径之比为

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，
所以绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比：

1

2 6

．
答：（1）卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度h的表达式为

3	R 2 0 g0t2 4n2π2

-R0
（2）地球和月球的密度之比为

3

2

．
（3）绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比为

1

2 6

．

点评：本题考查应用物理知识分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，运用万有引力等于向心力研究．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．