题目内容

精英家教网如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道．一个质量为m1的小物体自A处由静止释放，m1沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m2的静止的物体相碰．
（1）如果m2与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上．m1滑到水平轨道后与m2发生碰撞但不粘连，碰撞后m1与m2一起将弹簧压缩后被弹回，m1与m2重新分开．若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m1=m2，求m1反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m2相连的弹簧及固定装置P，m1仍从A处由静止释放．
a．若m1=
12
m2，且m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m1能达到的最大高度．
b．若m1与m2的碰撞过程中无机械能损失，要使m1与m2只能发生两次碰撞，求 m2与 m1的比值范围．
分析：（1）m1从A滑到B机械能守恒，和m2发生碰撞时动量守恒，据此可求出碰撞时的共同速度，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度与此共同速度相等，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
（2）a．m1与m2发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒，据此求出m1碰后速度，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
b．根据m1与m2发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度，注意第一次碰后m1的速度大于m2的速度，第二次m1的速度小于m2的速度，据此可正确解答．
解答：解：（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
m1gR=
1
2
m1
v
2
1
                  ①
m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动．
m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 ②
联立①②解得：v共=
v1
2
=
2gR
2
         
m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h
1
2
m1
v
2
共
=m1gh
解得 h=
1
4
R  
故m1反弹后能达到的最大高度为：h=
1
4
R．
（2）撤去弹簧及固定装置后．
a．m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失．设向右为正方向，有
m1v1=m1
v
′
1
+m2
v
′
2
          ③
1
2
m1
v
2
1
=
1
2
m1(
v
′
1
)2+
1
2
m2(
v
′
2
)2          ④
代入m1=
1
2
m2，联系③④可得：
v
′
1
=-
1
3
2gR
，负号表示m1向左运动
此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h′，有：
1
2
m1(
v
′
1
)2=mgh′
将
v
′
1
带入上式，可得：h′=
1
9
R        
故碰撞后m1能达到的最大高度为：h′=
1
9
R．     
b．m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有
m1v1=m1
v
′
1
+m2
v
′
2
       
1
2
m1
v
2
1
=
1
2
m1(
v
′
1
)2+
1
2
m2(
v
′
2
)2       
解得：
v
′
1
=
(m1-m2)v1
m1+m2
，
v
′
2
=
2m1v1
m1+m2

要能发生第二次碰撞的条件是
v
′
1
＜0，即m1＜m2；且|
v
′
1
|＞
v
′
2
，即|m1-m2|＞2m1，可得
m2＞3m1 ⑤
m1从圆弧轨道上滑下，以大小为|
v
′
1
|=
m2-m1
m1+m2
v1的速度与速度为
v
′
2
=
2m1v1
m1+m2
的m2发生第二次碰撞，有：
m1|
v
′
1
|+m2
v
′
2
=m1
v
″
1
+m2
v
″
2

1
2
m1(
v
′
1
)2+
1
2
m2(
v
′
2
)2=
1
2
m1(
v
″
1
)2+
1
2
m2(
v
″
2
)2
第二次碰后m1和 m2的速度
v
″
1
=
4m1m2-(m2-m1)2
(m1+m2)2
v1     ⑥
v
″
2
=
4m1(m2-m1)
(m1+m2)2
v1       ⑦
不发生第三次碰撞的条件为：|
v
″
1
|≤
v
″
2

则：-4m1（m2-m1）≤4m1m2-(m2-m1)2≤4m1（m2-m1）
解不等式-4m1(m2-m1)≤4m1m2-(m2-m1)2
得：(5-2
5
)m1≤m2≤(5+2
5
)m1            ⑧
解不等式：4m1m2-(m2-m1)2≤4m1(m2-m1)
得    m2≥3m1  或m2≤-m1  ⑨（9）
综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为：3＜
m2
m1
≤5+2
5

故要使m1与m2只能发生两次碰撞，m2与 m1的比值范围为：3＜
m2
m1
≤5+2
5
．
点评：本题考查了动量和能量问题，有一定的难度，难点在于数学运算，因此平时训练中要注意数学知识在物理中的应用．
练习册系列答案
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