Question

12．如图所示，在竖直向下的匀强电场中有一绝缘的光滑离心轨道，一个带负电的小球从斜轨道上的A点由静止释放，沿轨道滑下，已知小球的质量为m，电量为-q，匀强电场的场强大小为E，斜轨道的倾角为α（小球的重力大于所受的电场力）．
（1）求小球沿斜轨道下滑的加速度的大小；
（2）若使小球通过半径为R的圆轨道顶端的B点时不落下来，求A点距水平地面的高度h至少应为多大？
（3）若小球从斜轨道h=5R处由静止释放，假设能够通过B点，求在此过程中小球机械能的改变量．

Answer 1

分析 （1）对小球进行受力分析，由牛顿第二定律即可求出加速度；
（2）小球恰好通过最高点，则由向心力公式可求得B点的速度；对AB过程由动能定理可得A在轨道上的高度；
（3）小球由h=5R处到B过程中小球机械能的改变量等于电场力做的功．

解答 解：（1）小球受到重力、支持力和向上的电场力的作用，沿斜面方向有：
mgsinα-qEsinα=ma
得：$a=\frac{mgsinα-qEsinα}{m}=gsinα-\frac{qE}{m}sinα$
（2）设小球到B点的最小速度为v_B，则牛顿第二定律：
$mg-Eq=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{gR-\frac{qE}{m}R}$
小球从A到B的过程中由动能定理：
$（mg-qE）（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：h=2.5R  
（3）小球运动的过程中只有重力和电场力做功，所以小球由h=5R处到B过程中小球机械能的改变量等于电场力做的功．即△E_机械=△E_电=qE△x=qE•（h-2R）=3qER
答：（1）小球沿斜轨道下滑的加速度的大小是$gsinα-\frac{qE}{m}sinα$；
（2）若使小球通过圆轨道顶端的B点时不落下来，A点距水平地面的高度h至少应为2.5R；
（3）小球由h=5R处到B过程中小球机械能的改变量是3qER．

点评 本题考查动能定理及向心力公式的应用，在解题时注意计算中的中间过程不必解出，而应联立可以简单求出．