Question

8．科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次（即距离最近）．已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，引力常量为G，设地球和小行星都是圆轨道，且在同一平面同向转动．求：
（1）太阳的质量M；
（2）小行星与地球的最远距离S．

Answer 1

分析 （1）地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）该小行星每隔t时间与地球相遇一次，即t时间内地球多转动一圈，可以求解出小行星的周期；然后根据万有引力提供向心力列式求解出轨道半径，两个半径之差为最小距离．

解答 解：1）地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$•R  …①
得M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）设小行星绕太阳运行半径为r，周期为T′，质量为m′
$\frac{GMm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{{4π}^{2}}{{T′}^{2}}$•r  ②
由①②得$\frac{{T′}^{2}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}$   ③
小行星每隔t时间为地球相遇一次
（$\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{T′}$）•t=2π  ④
由③④得
R′=$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$•R  
小行星为地球的最远距离S
S=R′+R=（1+$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$）•R
答：（1）太阳的质量是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）小行星与地球的最远距离是（1+$\root{3}{\frac{{t}^{2}}{{（t-T）}^{2}}}$）•R．

点评 本题关键建立行星匀速圆周运动的模型，然后根据万有引力提供向心力列式求解；知道小行星每隔t时间与地球相距最近一次，即t时间内地球多转动一圈．