Question

如图所示，长度为l的细绳上端固定在天花板上O点，下端拴着质量为m的小球．当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平面上．
（1）当球以角速度ω₁=

g l

做圆锥摆运动时，细绳的张力F_T为多大？水平面受到的压力F_N是多大？
（2）当球以角速度ω₂=

4g l

做圆锥摆运动时，细绳的张力F

′

T

及水平面受到的压力F

′

N

各是多大？

Answer 1

分析：（1）当球做圆锥摆运动时，在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解绳子的张力和支持力，再由牛顿第三定律求出桌面受到的压力．
（2）当小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．根据角速度ω₂=

4g l

与临界角速度的关系，判断小球是否离开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解绳子的张力．

解答：解：（1）对小球受力分析，作出力图如图1．球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，则
根据牛顿第二定律，得
 水平方向有：F_Tsin60°=mω₁²lsin60°①
 竖直方向有：F_N′+F_Tcos60°-mg=0 ②
又ω₁=

g l

解得 F_T=mg，F_N′=

1

2

mg
根据牛顿第三定律得知水平面受到的压力F_N=F_N′=

1

2

mg．
（2）设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω₀，即F_N′=0
代入①②解得，ω₀=

2g l

由于ω₂=

4g l

＞ω₀，故小球离开桌面做匀速圆周运动，则此时小球的受力如图2．设绳子与竖直方向的夹角为α，则有
  mgtanθ=mω₂²?lsinα  ③
   mg=F_T′cosα  ④
联立解得 F_T′=4mg
答：
（1）当球以ω₁=

g l

做圆锥摆运动时，绳子张力F_T为mg，桌面受到压力F_N是

1

2

mg．
（2）当球以角速度ω₂=

4g l

做圆锥摆运动时，绳子的张力为4mg，桌面受到的压力为零．

点评：本题是圆锥摆问题，分析受力，确定向心力来源是关键，要注意分析隐含的临界状态，运用牛顿运动定律求解．