Question

3．船在200m宽的河中横渡，水流速度为3m/s，船在静水中的航行速度是4m/s，求，
（1）要使船以最短时间过河，船头方向应如何？最短时间为多少？
（2）要使船以最短距离过河，应如何行驶，过河时间多长？
（3）若河水流速一定，使船沿与下游成30°夹角的直线从A航行到B，船头航向应如何才能使船的航行速度最小？最小航速多大？
（4）若水流速度是4m/s，船在静水中的航行速度是3m/s，求船渡河的最小位移．

Answer 1

分析 （1）当船头的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，根据等时性求出渡河的时间，
（2）当合速度的方向与河岸垂直时，渡河路程最短，根据平行四边形定则求出静水速的方向．通过平行四边形定则求出合速度的大小，从而得出渡河的时间．
（3）根据运动的合成，结合水流速度，与三角知识，即可求解；
（4）当合速度的方向与静水速的方向垂直时，渡河位移最短，从而即可求解．

解答 解：（1）船头的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，即t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$s=50s．
（2）当合速度方向与河岸垂直时，渡河路程最短．如图，cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{4}$
即船头的方向与河岸所成夹角余弦为$\frac{3}{4}$，偏向上游行驶．
v_合=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$m/s=$\sqrt{7}$m/s
则t′=$\frac{d}{{v}_{合}}$=$\frac{200}{\sqrt{7}}$s=$\frac{200\sqrt{7}}{7}$s．
（3）若河水流速一定，使船沿与下游成30°夹角的直线从A航行到B，
当船头航向与合速度垂直时，航行速度最小；

最小速度v_c′=v_ssin30°=4×$\frac{1}{2}$=2m/s；
（4）因为不能垂直渡河，所以当合速度的方向与静水速的方向垂直，渡河位移最短，
设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，sinθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{3}{4}$，
则渡河的最小位移x=$\frac{d}{sinθ}$=$\frac{200}{\frac{3}{4}}$m=$\frac{800}{3}$ m．
答：（1）要使船以最短时间过河，船头方向应垂直河岸，最短时间为50s；
（2）要使船以最短距离过河，应偏上游夹角为与河岸所成夹角余弦为$\frac{3}{4}$，过河时间$\frac{200\sqrt{7}}{7}$s；
（3）若河水流速一定，使船沿与下游成30°夹角的直线从A航行到B，船头航向如图所示，才能使船的航行速度最小，最小航速2m/s；
（4）若水流速度是4m/s，船在静水中的航行速度是3m/s，船渡河的最小位移$\frac{800}{3}$ m．

点评 解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时性，当静水速与河岸垂直，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直，渡河航程最短．