Question

如图所示，半径R=0.3m 的光滑圆弧轨道与粗糙斜面相切于B点，斜面最高点C距地面的高度h=0.15m，质量 M=0.04kg 的小物块从圆弧最低点A，以大小v=2m/s、方向向左的初速度开始运动，到斜面最高点C时速度为零．此时恰被从P点水平射出质量m=0.01kg弹丸击中，已知弹丸进人物块时速度方向沿着斜面，并立即停在物块内，P点距地面的高度H=1.95m弹丸的水平初速度v₀=8m/s，取 g=10m/s²．求：
（1）斜面与水平地面的夹角θ； （可用反三角函数表示）
（2）物块回到 A 点时对轨道的压力大小；
（3）物块沿圆弧轨道运动，在所能到达的最高点处加速度大小．

Answer 1

分析：1、根据平抛运动规律和三角函数关系求出弹丸做平抛运动的时间和斜面与水平地面的夹角，
2、子弹射入后，由动量守恒列出等式，物块从A到C的过程中根据动能定理列出等式，由能量守恒求出物块从C到A的速度，再由牛顿第二定律求解．
3、对整体运用动能定理列出等式解答．

解答：解：（1）设弹丸做平抛运动的时间为t，则有：
H-h=

1

2

gt²
解得：t=0.6s．                                
此时弹丸的速度与水平方向夹角等于斜面倾角θ，竖直分速度为 v_y，则有：
 v_y=gt=6m/s                                                
tanθ═

vy

v0

=

3

4

∴θ=arctan

3

4

=37°
（2）设射入前子弹的速度为v₁，则有：v₁=

v 2 0 +v 2 y

=10m/s      
子弹射入后，木块速度为v₂，由动量守恒得：
 m v₁=（m+M）v₂   
解得：v₂=2m/s                           
设物块与斜面的动摩擦因数为μ，斜面长为L，物块从A到C的过程中根据动能定理得：
-mgh-μmgLcosθ=0-

1

2

mv²                                    
物块从C到A的速度为v₃，由能量守恒得：
（m+M）gh-μ（m+M）gLcosθ=

1

2

（m+M）（v₃²- v₂²）                   
 解得：v₃=

4gh +v 2 2 -v2

=

6

m/s                        
设物块回到A点时轨道对它的支持力为N，由牛顿第二定律得：
N-（m+M）g=（m+M）

v 2 3

R

 
解得：N=1.5N                    
（3）设物块在最高点处速度为零，距地面的高度为h₁，由动能定理得：

1

2

（m+M）v₃²=（m+M）gh₁                                
解得：h₁=0.3m=R                                     
所以假设成立，轨道对物块无压力，物块只受重力作用，所以加速度为：
a=g=10m/s²                        
答：（1）斜面与水平地面的夹角是37°；
（2）物块回到 A 点时对轨道的压力大小是1.5N；
（3）物块沿圆弧轨道运动，在所能到达的最高点处加速度大小是10m/s²．

点评：该题考查了平抛运动的规律、牛顿第二定律、动量守恒、动能定理等知识点，关键要清楚物体的运动情况，选择对应的物理规律，难度较大．