Question

如图ox、oy、oz为相互垂直的坐标轴，oy轴为竖直方向，整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现有一质量为m、电量为+q的小球从坐标原点O以速度υ₀沿ox轴正方向抛出（不计空气阻力，重力加速度为g）．求：
（1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xoz平面内做匀速圆周运动，求匀强电场的电场强度E₁和小球做匀速圆周运动的轨道半径r；
（2）若撤去磁场，在整个空间加一沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E₂=

3mg

q

，若仍将小球从坐标原点O以速度υ₀沿ox轴正方向抛出，求该小球从坐标原点O抛出经过时间t后的动能E_k．

Answer 1

分析：（1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xOz平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，由平衡条件求出场强．由牛顿第二定律求出半径．
（2）若在整个空间加一沿y轴正方向的匀强电场，小球在复合场中做螺旋运动，运用分解法研究坐标y和动能E_k．

解答：解：（1）因为要小球在磁场中做匀速圆周运动，必须满足qE₁=mg 
解得：E1=

mg

q

，方向沿y轴正向   
小球运动的过程中洛伦兹力提供向心力，得：qvB=m

v 2 0

r

 
解得：r=

mv0

qB

 
（2）小球在复合场中做类平抛运动，在 y轴方向上做初速为零的匀加速运动．
加速度为：a=

qE2-mg

m

=2g 
y轴方向的位移为：y=

1

2

at2 
由动能定理得：(qE2-mg)y=Ek-

1

2

mv02 
解得：Ek=

1

2

mv02+2mg2t2 
答：（1）匀强电场的电场强度 E1=

mg

q

，方向沿y轴正向，小球做匀速圆周运动的轨道半径r=

mv0

qB

；
（2）该小球从坐标原点O抛出经过时间t后的动能Ek=

1

2

mv02+2mg2t2．

点评：本题关键要掌握物体做匀速圆周运动的条件，分析受力情况是基础．对于小球做螺旋运动，采用运动的分解法研究是常用方法．