Question

（2008?南通三模）如图Ox、Oy、Oz为相互垂直的坐标轴，Oy轴为竖直方向，整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现有一质量为m、电量为+q的小球从坐标原点O以速度v₀沿Ox轴正方向抛出（不计空气阻力，重力加速度为g）．求：
（1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xOz平面内做匀速圆周运动，求场强E₁和小球运动的轨道半径；
（2）若在整个空间加一匀强电场E₂，使小球沿Ox轴做匀速直线运动，求E₂的大小；
（3）若在整个空间加一沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为

3mg

q

，求该小球从坐标原点O抛出后，经过y轴时的坐标y和动能E_k．

Answer 1

分析：（1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xOz平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，由平衡条件求出场强．由牛顿第二定律求出半径．
（2）若在整个空间加一匀强电场E₂，使小球沿Ox轴做匀速直线运动，重力、电场力和洛伦兹力的合力为零，根据平衡条件求出场强．
（3）若在整个空间加一沿y轴正方向的匀强电场，小球在复合场中做螺旋运动，运用分解法研究坐标y和动能E_k．

解答：解：（1）由于小球在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r，则
  qE₁=mg解得  E1=

mg

q

，方向沿y轴正向
又qvB=m

v 2 0

r

，解得  
r=

mv0

qB

（2）小球做匀速直线运动，受力平衡，则
 qE2=

(mg)2+(qv0B)2

解得  E2=

( mg q )2+ v 2 0 B2

（3）小球在复合场中做螺旋运动，可以分解成水平面内的匀速圆周运动和沿y轴方向的匀加速直线运动．
做匀加速运动的加速度   a=

qE3-mg

m

=2g
从原点O到经过y轴时经历的时间  
 t=nT
 y=

1

2

at2
解得  y=

4n2π2m2g

q2B2

（n=1、2、3…）
由动能定理得  (qE3-mg)y=Ek-

1

2

mv02
解得  Ek=

1

2

mv02+

8n2π2m3g2

q2B2

（n=1、2、3…）
答：
（1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xOz平面内做匀速圆周运动，场强 E1=

mg

q

，方向沿y轴正向．小球运动的轨道半径r=

mv0

qB

．
（2）若在整个空间加一匀强电场E₂，使小球沿Ox轴做匀速直线运动，E₂的大小得 E2=

( mg q )2+ v 2 0 B2

；
（3）该小球从坐标原点O抛出后，经过y轴时的坐标y=

4n2π2m2g

q2B2

（n=1、2、3…），动能为Ek=

1

2

mv02+

8n2π2m3g2

q2B2

（n=1、2、3…）．

点评：本题关键要掌握物体做匀速圆周运动的条件，分析受力情况是基础．对于小球做螺旋运动，采用运动的分解法研究是常用方法．