题目内容

17．如图所示的xoy水平面内，坐标原点处有一粒子源能沿水平面向各个方向发射初速度v0、质量为m、电荷量为+q的带电粒子，平面内分布沿x轴正方向的匀强电场，已知沿y轴正方向射出的粒子恰好能通过坐标为（1，$\sqrt{3}$）的A点，不考虑粒子之间在平面内的相互碰撞，不计带电粒子的重力．
（1）试求匀强电场E的大小；
（2）x轴上有一坐标为（3，0）的B点，试求到达A点和到达B点的粒子动能之比；
（3）现要通过再在平面内叠加一个匀强电场或一个匀强磁场的方式使到达A点的动能EKA与到达B点的动能EKB之比为1：2，且EKA′等于粒子从O出射时初动能EKO的3倍，试分析应在平面内叠加匀强电场还是匀强磁场？并求出该匀强电场或匀强磁场的大小和方向．

分析 （1）沿y轴正方向射出的粒子做类平抛运动，将运动分解，即可求得电场强度；
（2）粒子从O到A的过程中，以及从O到B的过程中，电场力做功，粒子的动能增大，由动能定理分别表达出其动能，然后比较即可；
（3）结合（2）的解答，分别求出两种情况下电场力做的功，然后比较即可．

解答 解：（1）沿y轴正方向射出的粒子做类平抛运动，水平方向：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…①
$a=\frac{qE}{m}$
竖直方向：y=v0t…②
代入数据得：$E=\frac{2m{v}_{0}^{2}}{3q}$…③
（2）粒子到达A点时，x方向的分运动：$x=\frac{{v}_{x}}{2}•t$…④
得：${v}_{x}=\frac{2x}{t}=\frac{2×1}{\frac{\sqrt{3}}{{v}_{0}}}=\frac{2{v}_{0}}{\sqrt{3}}$
粒子到达A的动能：${E}_{KA}=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}m•（{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}）$=$\frac{1}{2}m•\frac{7}{3}{v}_{0}^{2}$
电场力对到达A的粒子的做功：${W}_{1}=qE•x={E}_{KA}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{3}$…⑤
电场力对到达B的粒子的做功：${W}_{2}=qEx′=3qEx=3{W}_{1}=2m{v}_{0}^{2}$   
到达B的粒子的动能：${E}_{KB}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+2m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}•5m{v}_{0}^{2}$
所以：$\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KB}}=\frac{\frac{7}{3}}{5}=\frac{7}{15}$
（3）若EKA′等于粒子从O出射时初动能EKO的3倍，大于只有电场E时的情况，所以只有电场E时不能满足条件，若增加一个磁场，由于洛伦兹力不做功，所以不能只增加一个磁场，需要至少加一个电场；
若加一个水平向右的电场，则到达A的粒子的动能：${E}_{KA}′=3{E}_{KO}=\frac{1}{2}•3m{v}_{0}^{2}$
电场力的合力对到达A的粒子做功：${W}_{3}={E}_{KA}′-{E}_{KO}=2{E}_{KO}=m{v}_{0}^{2}$ 
电场力的合力对到达B的粒子做功：${W}_{4}={E}_{KB}′-{E}_{KO}=2{E}_{KA}′-{E}_{KO}=2×3{E}_{KO}-{E}_{KO}=5{E}_{KO}=\frac{5}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
所以：增加的电场对到达A的粒子做的功：${W}_{3}′={W}_{3}-{W}_{1}=m{v}_{0}^{2}-\frac{2}{3}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}$…⑥
增加的电场对到达A的粒子做的功：${W}_{4}′={W}_{4}-{W}_{2}=\frac{5}{2}m{v}_{0}^{2}-2m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑦
OA与x轴之间的夹角：$tanβ=\frac{y}{x}=\sqrt{3}$
所以：β=60°
增加的电场对粒子做正功，设该电场的方向与x轴之间的夹角是α，与OA之间的夹角是γ，电场强度的大小是E′则：
${W}_{3}′=qE′•\overline{OAcosγ}=2qE′cosγ$…⑧
${W}_{4}′=qE′•\overline{OB}cosα=3qE′•cosα$…⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨解得：α=30°，$E′=\frac{\sqrt{3}}{3}E$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{9q}$
答：（1）匀强电场E的大小是$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{3q}$；
（2）x轴上有一坐标为（3，0）的B点，求到达A点和到达B点的粒子动能之比是$\frac{7}{15}$；
（3）现要通过再在平面内叠加一个匀强电场或一个匀强磁场的方式使到达A点的动能EKA与到达B点的动能EKB之比为1：2，且EKA′等于粒子从O出射时初动能EKO的3倍，应在平面内叠加匀强电场；该匀强电场的大小是$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{9q}$，方向与x轴之间的夹角是30°．

点评 该题考查带电粒子在电场中的运动与偏转，粒子的电量不变，电场力对粒子做的功与沿电场方向的位移成正比，由此得出电场力做功与粒子的动能的变化之间的关系是解题的关键所在．

练习册系列答案
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