Question

19．如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值，静止的带电粒子带电荷量为-q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘体，它与N板间的夹角为θ=45°，孔Q到板的下端C的距离为L．当M、N两板间的电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：
（1）两板间电压的最大值U_m；
（2）CD板上可能被粒子打中区域的长度s；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间t_m．

Answer 1

分析 （1）粒子恰好垂直打在CD板上，根据粒子的运动的轨迹，可以求得粒子运动的半径，由半径公式可以求得电压的大小；
（2）当粒子的运动的轨迹恰好与CD板相切时，这是粒子能达到的最下边的边缘，在由几何关系可以求得被粒子打中的区域的长度．
（3）打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半周期，根据周期公式即可求解．

解答 解：（1）M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，
所以圆心在C点，CH=QC=L，故半径R₁=L
又因qvB=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
qU_m=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
所以U_m=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$
（2）设轨迹与CD板相切于K点，半径为R₂，在△AKC中：
sin45°=$\frac{{R}_{2}}{L-{R}_{2}}$
所以R₂=（$\sqrt{2}-1$）L
即KC长等于R₂=（$\sqrt{2}-1$）L
所以CD板上可能被粒子打中的区域即为HK的长度，
S=HK=R₁-R₂=L-（$\sqrt{2}-1$）L=（2-$\sqrt{2}$）L
（3）打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半周期：
T=$\frac{2πm}{qB}$
所以${t}_{m}=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$
答：（1）两板间电压的最大值U_m为$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$；
（2）CD板上可能被粒子打中的区域的长度s为（2-$\sqrt{2}$）L；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间t_m为$\frac{πm}{qB}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．