题目内容

8．半径为R的半球形区域的圆心在坐标原点O，半圆内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面，磁感应强度大小是B，x＜0的空间存在竖直向下的匀强电场．质量为m，电量为q的带正电粒子从P点以适当方向，适当大小的速度射入电场，经电场偏转后从O点沿x轴正向射入磁场（在电场中轨迹如图中虚线所示），图中PO长为l，PO与水平方向夹角为α，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径刚好也是R，不计粒子重力．
（1）粒子穿出半球形区域的位置坐标；
（2）粒子从P点射入电场，到射出磁场的总时间．

分析 （1）结合题目的情景，画出运动的轨迹，然后由几何关系即可求出；
（2）根据粒子在磁场中的受力，结合牛顿第二定律即可求出粒子进入磁场的速度，由类平抛运动的特点，即可求出粒子在电场中的时间；结合图中的几何关系求出粒子的偏转角度，由$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$即可求出粒子在磁场中运动的时间，最后求出总时间．

解答 解：（1）如图画出粒子在电场中运动的轨迹，

由图中的几何关系得：x2+y2=R2
同时：x2+（R-y）2=R2
联立得：$x=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，y=0.5R
所以，射出点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，0.5R）
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：v=$\frac{qBR}{m}$
粒子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向的速度保持不变，所以粒子穿过电场的时间：
${t}_{1}=\frac{l•cosα}{v}$=$\frac{mlcosα}{qBR}$
粒子在磁场中偏转的角度θ：sinθ=$\frac{x}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：$θ=\frac{π}{3}$
结合公式：$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$
所以：${t}_{2}=\frac{θ}{2π}•T=\frac{\frac{π}{3}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$
粒子运动的总时间：t=t1+t2=$\frac{mlcosα}{qBR}$+$\frac{πm}{qB}$=$\frac{mlcosα+πmR}{qBR}$
答：（1）粒子穿出半球形区域的位置坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，0.5R）；
（2）粒子从P点射入电场，到射出磁场的总时间是$\frac{mlcosα+πmR}{qBR}$．

点评 本题考查粒子在电场中类平抛运动和在磁场中的匀速圆周运动，对学生几何能力要求较高，能够找出问题的临界情况是解决本题的关键．

练习册系列答案
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（1）求该带电粒子离开磁场时距坐标原点O的距离
（2）该粒子在磁场中运动的时间．
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