Question

如图所示，在水平圆盘上有一过圆心的光滑圆槽，槽内有两根相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球（可以视为质点），其中O点为圆盘中心，O′点为圆盘边缘．橡皮绳的劲度系数为k（类似弹簧遵从胡克定律），原长为圆半径R的1/3，现使圆盘的角速度由零开始缓慢增大，求圆盘的角速度为ω₁=

k 5m

与ω₂=

3k 5m

时，小球所对应的线速度之比v₁：v₂．

Answer 1

分析：首先分析圆盘的角速度为ω₁=

k 5m

与ω₂=

3k 5m

时，两橡皮绳是否都有拉力．根据牛顿第二定律求出外面一根橡皮绳刚好松弛时圆盘的临界角速度ω₀，再判断两橡皮绳的状态，再由牛顿第二定律求解线速度．

解答：解：设外面一根橡皮绳刚好松弛时圆盘的角速度为ω₀，由牛顿第二定律：
    k?

R

3

=m

ω

2 0

?

2R

3

，
  解得ω0=

k 2m

当ω₁=

k 5m

时，两根橡皮绳都有拉力，设此时的半径为a，由牛顿第二定律：m

ω

2 1

a=k(a-

R

3

)-k(R-a-

R

3

)，
   将ω₁的值解得：a=

5

9

R
当ω₂=

3k 5m

时，外面一根橡皮绳已经松弛，设此时半径为b，由牛顿第二定律：
    m

ω

2 2

b=k(b-

R

3

)，
将ω₂的值代入解得：b=

5R

6

，
则

v1

v2

=

ω1a

ω2b

=

2 3

9

答：小球所对应的线速度之比v₁：v₂是2

3

：9．

点评：本题是隐含的临界问题，要善于分析物体的临界状态，挖掘隐含的条件．中等难度．