Question

19．如图所示的光滑管道装置，OA部分水平，AB部分竖直，水平管道BC部分正绕过B点的竖直轴匀速转动，其余部分均固定，若干紧挨的组成长度为2l的相同光滑小球由右端匀速进入OA部分，并依次通过AB段和BC段，小球在拐角处转向时无动能损失，某时刻，A、B、C三点同时出现小球，且B点的小球除外，AB段和BC段恰好都有n个小球，情景如图所示，B点距水平地面的高度为$\frac{9}{4}$l，重力加速度为g，
（1）求小球进入OA细管时的速率
（2）求小球的半径
（3）如果全部小球恰好能在BC管匀速转动一周的时间内飞出出口C，最终均匀落于水平地面的某一圆周上，求小球落地时的速率（π²取10）

Answer 1

分析 （1）由题：AB段和BC段小球数目相等，所以小球通过两段的时间相等．小球在BC管方向做匀速运动，在AB段做匀加速直线运动，根据位移公式分别列式，即可求解小球进入OA细管时的速率．
（2）求出每两个小球时间间隔，再由运动学公式求解小球的半径．
（3）小球飞出C点后做平抛运动，每个小球用时相等，根据平抛运动的规律和机械能守恒定律结合解答．

解答 解：（1）设小球进入AB前速率为v_A，到达B点时速率为v_B，由于AB段和BC段小球数目相等，所以小球通过两段的时间相等．设为t．
小球在BC管方向做匀速运动，则有 l=v_Bt
在AB段做匀加速直线运动，则有 v_B=v_A+gt
  且有 $\frac{{v}_{A}+{v}_{B}}{2}t$=$\frac{4}{5}$l
联立解得 v_A=3$\sqrt{\frac{gl}{10}}$，t=2$\sqrt{\frac{l}{10g}}$，v_B=5$\sqrt{\frac{gl}{10}}$
即小球进入OA细管时的速率v_A=3$\sqrt{\frac{gl}{10}}$
（2）每两个小球的时间间隔设为△t，满足：l=n△t
设小球的半径为r，满足：
  r=v_A$\frac{△t}{2}$
解得 r=$\frac{3l}{10n}$
（3）小球恰好落于圆周上且不重复，设BC转动的周期为T，周期T与小球全部通过同一点的用时相等，取点A研究即可：
  T=$\frac{2l}{{v}_{A}}$
设小球在C点时速率为v_C，由矢量叠加关系有：
  ${v}_{C}^{2}$=${v}_{B}^{2}$+$（\frac{2πl}{T}）^{2}$
小球到达C点后做平抛运动，设落地时速率为v_D，小球质量为m，由机械能守恒定律得
  mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得 v_D=4$\sqrt{gl}$
答：
（1）小球进入OA细管时的速率是3$\sqrt{\frac{gl}{10}}$．
（2）小球的半径是$\frac{3l}{10n}$．
（3）小球落地时的速率是4$\sqrt{gl}$．

点评 解决本题的关键要灵活选取研究的过程和研究对象，抓住圆周运动的周期性，灵活运用运动学公式解答．