Question

如图所示，是一种电子扩束装置的原理示意图．直角坐标系原点O处有一电子发生器，朝xOy平面内x≥0区域任意方向发射电子，电子的速率均为v₀，已知电子的电荷量为e、质量为m．在0≤x≤d的区域内分布着沿x轴负方向的匀强电场，场强大小E=

3mv02

2ed

，在x＞d区域内分布着足够大且垂直于xOy平面向外的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度B=

4mv0

ed

．ab为一块很大的平面感光板，在磁场内平行于y轴放置，电子打到板上时会在板上形成一条亮线．不计电子的重力和电子之间的相互作用．
（1）求电子进入磁场时速度的大小；
（2）当感光板ab沿x轴方向移到某一位置时，恰好没有电子打到板上，求感光板到y轴的距离x₁
（3）保持（2）中感光板位置不动，若使所有电子恰好都能打到感光板上，求磁感应强度的大小以及电子打到板上形成亮线的长度．

Answer 1

分析：（1）电子在电场中运动时，电场力做功都相同，为eEd，根据动能定理求出电子离开电场时的速度大小，即得到电子进入磁场时速度的大小；
（2）电子进入磁场后由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动．对于沿y轴负方向射出的电子进入磁场时，不能打到ab板上，则所有电子均不能打到ab板上．当此电子轨迹与ab板相切时，画出轨迹，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何知识求出感光板到y轴的距离x₁．
（3）沿y轴正方向射出的电子若能打到ab板上，则所有电子均能打到板上．此电子轨迹恰好与ab板相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求解磁感应强度的大小．电子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式求出电场中沿y轴方向的位移，由几何关系求出电子打到板上形成亮线的长度．

解答：解：（1）根据动能定理：eEd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

得     v=2v₀

（2）由v₀=

v

2

知，对于沿y轴负方向射出的电子进入磁场时与边界线夹角θ=60°，若此电子不能打到ab板上，则所有电子均不能打到ab板上．当此电子轨迹与ab板相切时，根据洛伦兹力提供向心力有evB=m

v2

r

又    B=

4mv0

ed

得      r=

d

2

由几何知识  x₁=r（1+cos60°）+d
解得        x1=

7

4

d
（3）易知沿y轴正方向射出的电子若能打到ab板上，则所有电子均能打到板上．其临界情况就是此电子轨迹恰好与ab板相切，画出轨迹如图所示，
此时        r′(1-cos60°)=

3

4

d
故         r′=

3

2

d=3r
由         qvB′=m

v2

r′

解得      B′=

4mv0

3ed

此时，所有粒子恰好都能打到板上
电子在电场中运动过程eE=ma，d=

1

2

at2
沿y轴方向的位移 y1=v0t=

2 3

3

d
电子在磁场中运动过程，沿y轴负方向的偏转量  y₂=r′（1-sinθ）
沿y轴正方向的偏转量  y₃=r′sinθ
电子打到板上形成亮线的长度L=2y1+y2+y3=

4 3

3

d+

3

2

d
答：（1）电子进入磁场时速度的大小为2v₀；
（2）当感光板ab沿x轴方向移到某一位置时，恰好没有电子打到板上，感光板到y轴的距离x₁为

7

4

d；
（3）保持（2）中感光板位置不动，若使所有电子恰好都能打到感光板上，磁感应强度的大小以及电子打到板上形成亮线的长度为

4 3

3

d+

3

2

d．

点评：本题是电场中偏转和磁场中圆周运动的综合，关键是分析临界情况，当电子刚好不能打到ab板上时，其轨迹恰好与ab板相切，这是经常用到的临界条件，再由几何关系求出亮线的长度．