Question

设某星球的质量为M，绕星球做匀速圆周运动的卫星质量为m，轨道半径为r，已知万有引力常数为G，某星球半径为R，星球表面自由落体加速度为g．求：
（1）求卫星绕某星球运转的周期T．（用r、M表示）
（2）若某星球的质量M是未知的，用其他已知的物理量求出某星球的质量M和某星球密度的表达式．（用g、R表示）
（3）求某星球第一宇宙速度．（用g、R表示）

Answer 1

（1）卫星绕星球做匀速圆周运动，有
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
得T=2π

r3 GM

（2）在某星球表面附近，有mg=G

Mm

R2

，得M=

gR2

G

星球的体积V=

4

3

πR3，
所以密度为ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πGR

（3）卫星绕星球做近地运动，有G

Mm

R2

=m

v2

R

，
得v=

GM R

=

gR2 R

=

gR

答：（1）卫星绕某星球运转的周期T为2π

r3 GM

．（2）星球的质量M为M=

gR2

G

，星球密度的表达式为ρ=

3g

4πGR

．（3）某星球第一宇宙速度为

gR

．