Question

19．一般课室的门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C（劲度系数为k）、锁舌D（倾斜角θ=45°，质量忽略不计）、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示（俯视图）．设锁舌D与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ且最大静摩擦力与滑动摩檫力相等．有一次放学后，小明准备锁门，当他用某力拉门时，不能将门关上，此刻暗锁所处的状态如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x，问：

（1）此时，外壳A对锁舌D的摩擦力的方向；
（2）此时，锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小；
（3）当μ满足一定条件时，无论用多大的力，也不能将门关上（这种现象称为自锁求暗锁能够保持自锁状态时μ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）锁舌有向左运动的趋势，故下表面受的摩擦力为静摩擦力，方向向右．
（2）对锁舌进行受力分析，根据平衡条件分别在互相垂直的方向上列方程，在根据摩擦力计算公式f_m=μN，联立方程组求解．
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，说明正压力N无穷大，根据N的表达式求解μ即可．

解答 解：（1）锁槽E压缩锁舌和弹簧，锁舌D有向左的运动趋势，故自锁状态下D的下表面所受外壳A施力的静摩擦力方向向右，设锁舌D下表面受到的最大静摩擦力为f₁，则其方向向右．
（2）设锁舌D受锁槽E的最大静摩擦力为f₂，正压力为F_N，下表面的正压力为F，弹力为kx，由力的平衡条件可知：

kx+f₁+f₂cos45°-F_Nsin45°=0 ①
F-F_Ncos45°-f₂sin45°=0 ②
f₁=μF ③
f₂=μF_N ④
联立式①②③④，解得正压力的大小：
${F_N}=\frac{{\sqrt{2}kx}}{{1-2μ-{μ^2}}}$ ⑤
（3）令F_N趋向于∞，则有1-2μ-μ²=0
解得μ=$\sqrt{2}$-1=0.41 ⑦
答：（1）自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向向右．
（2）此时（自锁时）锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小为$\frac{\sqrt{2}kx}{1-2μ-{μ}^{2}}$．
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少为0.41．

点评 此题关键是对锁舌进行正确的受力分析，解决共点力平衡问题的关键就是对研究对象进行受力分析，不能多力，不能漏力，各个力的方向不能错．