Question

如图所示，水平面上有两根很长的平行导轨，导轨间有竖直方向等距离间隔的匀强磁场B₁和B₂，导轨上有金属框abdc，框的宽度与磁场间隔相同，当匀强磁场B₁和B₂同时以恒定速度v₀沿直导轨运动时，金属框也会随之沿直导轨运动，这就是磁悬浮列车运动的原理．如果金属框下始终有这样运动的磁场，框就会一直运动下去．设两根直导轨间距L=0.2m，B₁=B₂=1T，磁场运动的速度v₀=4m/s，金属框的电阻R=1.6Ω．求：
（1）当匀强磁场B₁和B₂向左沿直导轨运动时，金属框运动的方向及在没有任何阻力时金属框的最大速度．
（2）当金属框运动时始终受到f=0.1N的阻力时，金属框的最大速度．
（3）在（2）的情况下，当金属框达到最大速度后，为了维持它的运动，磁场必须提供的功率．

Answer 1

分析：（1）当匀强磁场B₁和B₂向左沿直导轨运动时，金属框abcd相对于磁场向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，金属框的ac、db两边都受到向左的安培力而做加速运动，达到稳定时，若没有阻力，感应电流为零，金属框的最大速度等于磁场的速度；
（2）当金属框运动时始终受到f=1N的阻力时，达到稳定时线框做匀速直线运动，所受的安培力的合力与阻力平衡，根据f=2F_B=2B

E

R

L求出感应电动势，由E=2BL△v求出磁场与线框的速度之差，即可由v=v₀-△v求出金属框的最大速度；
（3）当金属框达到最大速度后，为了维持它的运动，磁场提供的能量转化线框中产生的内能和克服阻力产生的内能，根据能量守恒求解磁场提供的功率．

解答：解：（1）当磁场向左运动时，金属框abdc相对磁场向右，于是金属框中产生感应电流，根据楞次定律和左手定则判断得知：金属框左、右两边受到安培力方向向左，所以金属框将向左加速运动．根据闭合电路欧姆定律得
   I=

2E

R

=

2BL(v0-v)

R

达到稳定状态后，在不计阻力的情况下，I=0，金属框最大速度为v=v₀=4m/s
（2）当金属框运动时始终受到f=0.1N的阻力时，金属框达稳定状态时，根据平衡条件得
  f=2F_B=2B

E

R

L
∴E=

fR

2BL

=

0.1×1.6

2×1×0.2

=0.4V                                
而E=2BL△v
得：磁场与金属框的相对速度为△v=

E

2BL

=

0.4

2×1×0.2

=1m/s
∴金属框的最大速度为 v=v₀-△v=4-1=3m/s          
（3）线框中的电功率为 P_电=

E2

R

=

0．42

1.6

=0.1W
∴根据能量守恒得 P=P_电+fv=0.1+1×3W=0.4W
答：
（1）当匀强磁场B₁和B₂向左沿直导轨运动时，金属框向左加速运动；在没有任何阻力时金属框的最大速度是4m/s．
（2）当金属框运动时始终受到f=0.11N的阻力时，金属框的最大速度是3m/s．
（3）在（2）的情况下，当金属框达到最大速度后，为了维持它的运动，磁场必须提供的功率是0.4W．

点评：由于磁场运动使得穿过线框的磁通量发生变化，线框中产生感应电流，感应电流在磁场中又受到安培力从而使线框开始沿磁场运动方向做加速运动，需要注意的是使电路产生感应电动势的速度，不是线框的速度而是线框相对于磁场运动的速度△v，这是解决本题的关键所在．