Question

如图，xOy平面的第Ⅱ象限的某一区域有垂直于纸面的匀强磁场B₁，磁场磁感应强度B₁=1T，磁场区域的边界为矩形，其边分别平行于x、y轴。有一质量m=10^－12kg、带正电q=10^－7C的a粒子从O点以速度v₀=10⁵m/s，沿与y轴正向成θ=30°的方向射入第Ⅱ象限，经磁场偏转后，从y轴上的P点垂直于y轴射入第Ⅰ象限，P点纵坐标为y_P=3m，y轴右侧和垂直于x轴的虚线左侧间有平行于y轴的匀强电场，a粒子将从虚线与x轴交点Q进入第Ⅳ象限，Q点横坐标m，虚线右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B₂，其磁感应强度大小仍为1T。不计粒子的重力，求：

（1）磁场B₁的方向及a粒子在磁场B₁的运动半径r₁；

（2）矩形磁场B₁的最小面积S和电场强度大小E；

（3）如在a粒子刚进入磁场B₁的同时，有另一带电量为－q的b粒子，从y轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，a、b粒子将发生迎面正碰，求M点纵坐标y_M以及相碰点N的横坐标x_N。

Answer 1

解：

（1）根据左手定则知，磁场B₁的方向垂直纸面向外；       ……………………①

粒子a在磁场B₁中做圆周运动，由牛顿第二定律有：

                           ……………………②

解②得：m                       ……………………③

（2）设粒子a在磁场B₁中入射点A纵坐标y_A，在磁场B₁中运动周期为T₁，由题意知：

       ……………………④

解得y_A=1.5m，结合y_P=3m、r₁=1m可以判定P恰为a粒子在磁场B₁中的出射点，即a粒子在磁场B₁中做圆周运动的圆心O₁在y轴上；

作出粒子a的运动轨迹如图所示。           …………⑤

由图中几何关系得磁场B₁的最小面积为：

                         ……………………⑥

a粒子从P到Q做类平抛运动，运动时间为t，有：

x_Q=v₀t                                        ……………………⑦

                           ……………………⑧

联解⑥⑦⑧得：

S=1.5m²                                    ……………………⑨

                    ……………………⑩

（3）设a粒子进入磁场B₂时速度v的方向与x轴夹角为α，轨道半径为r₂，则：

                         ……………………⑪

                     ……………………⑫

                                          ……………………⑬

设a粒子在磁场B₂中出射点C纵坐标为y_C，b粒子在y轴上入射点M纵坐标为y_M，由题意b粒子要与a正碰必在Q右侧磁场区，且轨迹与a粒子轨迹恰对称，所以b粒子在磁场中的入射点为C，由图中几何关系得：

                            ……………………⑭

                            ……………………⑮

因粒子a在Ⅱ象限和Ⅰ象限做圆周运动的周期T₁=T₂，所以，当a粒子到Q点时，b粒子在磁场中已运动了，即a、b粒子将在轨迹与x轴的交点N相遇，则：

            ……………………⑯

联解⑪⑫⑬⑭⑮⑯得：

                                 ……………………⑰

                 ……………………⑱

评分参考意见：本题满分19分，其中②式2分，①③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱式各1分；若有其他合理解法且答案正确，可同样给分。