Question

（2012?广东二模）如图所示，两半径分别为r₁、r₂的半圆形钢管（内径很小）竖直立起，管面光滑．现让一质量为m的小球由地面以速度v₀进入管口．小球最终刚好停留在管道的最高点．求：
（1）入射速度v₀
（2）小球通过下面管道的最高点P时对管道的压力，并说明r₁、r₂满足什么关系时，小球是压上壁还是下壁？

Answer 1

分析：（1）小球在上升过程中机械能守恒，由机械能守恒定律可求得入射速度；
（2）由机械能守恒可求得小球在P点时的速度，再由向心力公式可得出小球在P点受力的表达式，根据公式可分析上下管壁的受力情况．

解答：解：（1）壁面光滑，小球上升过程机械能守恒，由机械能守恒定律，得：mg(2r1+2r2)=

1

2

mv02…①
得：v0=2

g(r1+r2)

（2）取竖直向下为正，设小球到达下管最高点P的速度为v，对管道的压力为N，则有：

1

2

mv02=

1

2

mv2+mg?2r1…②
在下管最高点P，有：mg+N=m

v2

r1

…③
由①②③得  N=(

4r2

r1

-1)mg
r₁=4r₂时，N=0；r₁＞4r₂时，N＞0，向下，压上壁；r₁＜4r₂时，N＜0，向上，压下壁；
答：（1）入射速度为2

g(r1+r2)

；
（2）r₁=4r₂时，N=0；r₁＞4r₂时，N＞0，向下，压上壁；r₁＜4r₂时，N＜0，向上，压下壁；

点评：小球在整个运动过程中只有重力做功，故机械能守恒，关键是正确选取初末位置，列出机械能守恒表达式求解．