Question

10．如图所示，质量为m=0.2kg的小物块A置于半径R=0.5m的光滑固定半圆竖直轨道的顶端，半圆轨道底端的切线水平，物块A获得一水平向左的初速度v₀后下滑（忽略物块与管壁碰撞损失的能量），可从半圆轨道的底端无能量损失地滑上一辆固定在光滑水平面上的小车B上且恰好不能从车右端滑出，B的质量M=0.6kg，上表面长L=2.5m．已知A刚到轨道最低点时受到的轨道支持力N=12N，重力加速度为g=10m/s²．
（1）求A在轨道最高点获得的初速度v₀大小；
（2）求物块A与小车B间的动摩擦因数；
（3）若小车不固定，求A能在小车B上滑多远．

Answer 1

分析 （1）A刚到轨道最低点时，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求得A经过轨道最低点时的速度，再由机械能守恒定律求A在轨道最高点获得的初速度v₀大小；
（2）对于物块A在小车上滑行过程，运用动能定理可求得A与小车B间的动摩擦因数；
（3）若小车不固定，A在小车B上滑行时，系统的动量守恒，能量也守恒，由动量守恒定律和能量守恒定律结合求解A相对小车滑行的距离．

解答 解：（1）在轨道最低点，对A，由牛顿第二定律得
    N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
从最高点到最低点的过程，对A，由机械能守恒定律得
   mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得 v=5m/s，v₀=$\sqrt{5}$m/s
（2）小车固定时，研究A在B上滑行的过程，由动能定理得：
-μmgL=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 μ=0.5
（3）若小车不固定，研究A在小车B上滑行过程，取向右为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律分别得：
    mv=（m+M）v₁．
   $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²+μmgx
联立解得 x=1.875m
答：
（1）A在轨道最高点获得的初速度v₀大小是$\sqrt{5}$m/s；
（2）物块A与小车B间的动摩擦因数是0.5；
（3）若小车不固定，A能在小车B上滑1.875m．

点评 解决本题时，要明确圆周运动向心力来源是指向圆心的合力．小车不固定，系统遵守两大守恒定律：动量守恒定律和能量守恒定律，要知道摩擦产生的内能与相对位移有关．