Question

13．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，在弹力的作用下获某一向右速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求
（1）弹簧对物块的弹力做的功；
（2）物块从B到C克服阻力做的功；
（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小．

Answer 1

分析 （1）由B点对导轨的压力可求得物体在B点的速度，则由动能定理可求得弹簧对物块的弹力所做的功；
（2）由临界条件利用向心力公式可求得最高点的速度，由动能定理可求得摩擦力所做的功；
（3）由C到落后地面，物体做平抛运动，机械能守恒，则由机械能守恒定理可求得落回水平地面时的动能．

解答 解：（1）物体在B点时，做圆周运动，由牛顿第二定律可知：
T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得v=$\sqrt{6gR}$
从A到C由动能定理可得：
弹力对物块所做的功W=$\frac{1}{2}$mv²=3mgR；
（2）物体在C点时由牛顿第二定律可知：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
对BC过程由动能定理可得：
-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
解得物体克服摩擦力做功：
W_f=$\frac{1}{2}$mgR．
（3）物体从C点到落地过程，机械能守恒，则由机械能守恒定律可得：
2mgR=E_k-$\frac{1}{2}$mv₀²
物块落地时的动能E_k=$\frac{5}{2}$mgR．
答：（1）弹簧对物块的弹力做的功为3mgR；
（2）物块从B到C克服阻力做的功为$\frac{1}{2}$mgR．
（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小为$\frac{5}{2}$mgR．．

点评 解答本题首先应明确物体运动的三个过程，第一过程弹力做功增加了物体的动能；第二过程做竖直面上的圆周运动，要注意临界条件的应用；第三过程做平抛运动，机械能守恒．