Question

如图所示，光滑绝缘轨道ABCD位于同一竖直面内，水平部分AB=L，3/4圆弧轨道BCD的圆心为0，半径为R，B点是最低点，c点是最高点，0、D同一水平高度．整个装置位于水平向右的匀强电场中，电场强度E．现有一质量为m、带电量为+q的光滑小球从A点由静止开始运动，已知小球能够沿BCD圆轨道到达D点．求：
（1）小球到C点时的速度v_c多大？
（2）若已知E=

mg

q

，小球在轨道BCD上哪点速度最小？L至少是R的多少倍才能取得该最小速度？

Answer 1

分析：先对带电小球受力分析和运动分析，选取研究过程，用动能定理求解；只有重力和电场力做功且为恒力，根据力的合成法则，二力的合力方向偏右下方与水平方向成450，带电小球在BCD运动中，只有二力的合力做负功时，其速度逐渐减小，当运动到CD所在圆弧的中点E时，其二力的合力不做功，E点之前做负功，E点之后做正功，故带电小球运动到E点时，速度最小． 小球能运动到D点，所以在E点的至少满足：二力的合力提供圆周运动向心力．

解答：解：以带电小球为研究对象，运动时受重力、电场力和接触面的弹力，其中，重力和电场力为恒力，弹力不做功，小球能运动到D点，设小球运动到C点的速度为v_c，
（1）、以A到C为研究过程，由动能定理得：EqL-mg?2R=

1

2

mV_c²                                 
解之得：v_c=

2(EqL-2mgR) m

（2）、当E=

mg

q

时，即Eq=mg     
小球在运动中只有重力和电场力做功且为恒力，根据力的合成法则，二力的合力方向偏右下方与水平方向成45°，带电小球在CD运动中，二力的合力先做负功，后做正功时，其速度先减小后逐渐增大，当运动到CD所在圆弧的中点E时，其二力的合力的方向与运动方向垂直，故带电小球运动到E点时，速度最小．
由几何关系知，E点到A点的高度为：h_EA=R+Rsin45°…①
E点到A点的水平距离为：h¹_EA=L-Rcos45°…②
以A→B→C→E为研究过程，在E点的速度为v _E，由动能定理得：
-mg（R+Rsin45 ⁰）+Eq（L-Rcos45 ⁰）=

1

2

mv²_E …③
小球能运动到D点，所以在E点的至少满足：二力的合力提供向心力．由牛顿第二定律得：

2

mg=

mv 2 E

R

…④
联立①②③④解之得：L=（1+

3 2

2

）R
答：（1）、小球到C点时的速度

2(EqL-2mgR) m

；
（2）、若已知E=

mg

q

，小球在轨道BCD上运动到CD所在圆弧的中点E速度最小；L至少是R的（1+

3 2

2

）倍才能取得该最小速度．

点评：本题的关键是寻求最小速度的位置（用功能关系）和此位置做圆周运动的临界条件，即在E点的至少满足：二力的合力提供向心力．