Question

3．如图所示，平行金属导轨竖直放置，导轨间距为L，上端接有电阻为R的灯泡，虚线OO′下方是垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B．现将质量为m，电阻为r的金属杆ab从OO′上方某处由静止释放，进入磁场一段时间后可使灯泡持续正常发光．当杆下降到M、N处时被支持物挡住并停止运动．OO′到MN的距离为d，杆始终与导轨保持良好接触，其他电阻忽略不计．
（1）求灯泡持续正常发光时，导体棒运动的速度v
（2）求下降过程通过灯泡的电量q
（3）杆被支持物挡住后，通过减小磁感应强度B的大小仍使灯泡持续正常发光，若磁感应强度的大小随时间变化率的大小为k，写出在磁感应强度减为零之前，杆ab上所受安培力随时间变化的表达式．

Answer 1

分析 （1）杆进入磁场一段时间后可使灯泡持续正常发光，说明电流不变，切割电动势不变，速度不变，杆处于平衡状态，根据切割公式、安培力公式、欧姆定律列式求解即可；
（2）根据切割公式、欧姆定律、电流的定义公式列式后联立求解即可；
（3）杆被支持物挡住后，通过减小磁感应强度B的大小仍使灯泡持续正常发光，电流不变，感应电动势不变，结合法拉第电磁感应定律列式求解即可．

解答 解：（1）杆进入磁场一段时间后可使灯泡持续正常发光，说明导体棒ab开始做匀速直线运动，故：
mg=BIL
根据法拉第电磁感应定律，有：
E=BLv
根据欧姆定律，有：
I=$\frac{E}{R+r}$
联立解得：
v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）根据切割公式，有：
E=BLv
根据欧姆定律，有：
I=$\frac{E}{R+r}$
电量：
q=It=I$\frac{L}{v}$
联立解得：
q=$\frac{BLd}{R+r}$
（3）由于灯泡亮度不变，故电流不变，故：
I=$\frac{mg}{BL}$
此时的磁场为：
B′=B+kt
根据安培力公式可得：
F=B′IL=$\frac{mg}{B}（B+kt）$=mg+$\frac{kmg}{B}t$
答：（1）灯泡持续正常发光时，导体棒运动的速度v为$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）下降过程通过灯泡的电量q为$\frac{BLd}{R+r}$；
（3）在磁感应强度减为零之前，杆ab上所受安培力随时间变化的表达式为F=mg+$\frac{kmg}{B}t$．

点评 本题是力电综合问题，关键明确导体棒的受力情况和运动情况，然后根据平衡条件、切割公式、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式列式分析，不难．