Question

7．有两颗人造地球卫星，都绕地球作匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比为r₁：r₂=4：1，求这两颗卫星的：（1）线速度之比  
（2）角速度之比  
（3）向心加速度之比  
（4）运动周期之比．

Answer 1

分析 根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、向心加速度和向心力的表达式进行讨论即可．

解答 解：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有F=F_向，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma=mω²r=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
（1）v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，已知它们的轨道半径之比为r₁：r₂=4：1，所以它们的线速度之比v₁：v₂=1：2．
（2）ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，已知它们的轨道半径之比为r₁：r₂=4：1，所以角速度之比ω₁：ω₂=1：8，
（3）a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，已知它们的轨道半径之比为r₁：r₂=4：1，所以向心加速度之比a₁：a₂=1：16，
（4）T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，已知它们的轨道半径之比为r₁：r₂=4：1，所以T₁：T₂=8：1，
答：（1）线速度之比v₁：v₂=1：2．  
（2）角速度之比ω₁：ω₂=1：8，
（3）向心加速度之比a₁：a₂=1：16，
（4）运动周期之比T₁：T₂=8：1．

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力，列式求解出线速度、角速度、向心加速度和向心力的表达式，再进行讨论．