Question

15．如图，虚线AB右侧是磁感应强度为B₁的匀强磁场，左侧是磁感应强度为B₂的匀强磁场．已知$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=2．磁场的方向垂直于图中的直面并指向纸面内，现有一带正电的粒子自图中O处以初速度v₀开始向右运动．求从开始时刻到第10次通过AB线向右运动的时间内，该粒子在AB方向的平均速度．

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力可求得半径大小关系；由左手定则可明确粒子的偏转方向；再由周期公式求出运动周期；最后结合题目的条件求出总时间与平均速度即可．

解答 解：根据左手定则及洛仑兹力充当向心力可得，粒子在磁场中将沿逆时针方向旋转；
设粒子的质量为m，带电量为q，则：
由洛伦兹力提供向心力，得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可知：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
因B₁=2B₂，粒子在两部分磁场中的半径之比为：
$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
所以粒子在磁场中运动的一个周期的轨迹如图：

可知经过一个周期后，粒子从距离O点（2R₂-2R₁）=2R₁的位置第二次经过虚线AB，运动的方向向右；结合运动的周期性可知，当粒子第10次经过虚线时，粒子到O点的距离：L=$\frac{10}{2}×2{R}_{1}=10{R}_{1}=\frac{10m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
根据带电粒子在磁场中运动的周期公式：T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在两磁场中的运动一个周期时，时间之和为：T=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$=$\frac{πm}{{B}_{1}q}$+$\frac{πm}{{B}_{2}q}$=$\frac{3πm}{q{B}_{1}}$；
当粒子第10次经过虚线时历时5个周期，所以：t=5T=$\frac{15πm}{q{B}_{1}}$
所以，粒子的平均速度：$\overline{v}=\frac{L}{t}=\frac{\frac{10m{v}_{0}}{q{B}_{1}}}{\frac{15πm}{q{B}_{1}}}=\frac{2{v}_{0}}{3π}$
平均速度的方向向下．
答：粒子在AB方向的平均速度大小为$\frac{2{v}_{0}}{3π}$，方向向下．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，要注意洛仑兹力不做功，粒子的速度不变；由向心力公式可求得粒子运动的半径之比．