Question

17．宇宙中存在一些由质量相等的三颗星组成的三星系统，有两种稳定的运动形式：第一种是三颗星位于同一直线上，两颗星以第三星O₁为圆心做半径均为R的匀速圆周运动，如图1所示，第二种是三颗星位于等边三角形的三个顶点A、B、C上，均以△ABC的中心O₂为圆心，以O₂A长为半径做匀速圆周运动，如图2所示，设每个星体的质量均为m，引力常量为G，不考虑其他天体对三星的作用．
（1）求第一种形式下，运动星体的速率v和角速度ω；
（2）假设两种形式下运动星体的速率相同，求第二种形式下星体之间的距离L．

Answer 1

分析 两种形式行星均靠其它两颗行星的对它万有引力的合力提供向心力，做匀速圆周运动．

解答 解：（1）第一种形式三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行，轨道半径为R
向心力${F}_{1}^{\;}$=$G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+G\frac{{m}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{5}{4}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}=m{ω}_{\;}^{2}R$
解得：$v=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$
$ω=\sqrt{\frac{5Gm}{4{R}_{\;}^{3}}}$
（2）第二种形式轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，$r=\frac{\frac{L}{2}}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{3}L$
所需的向心力${F}_{2}^{\;}=2G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}cos30°=\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
根据题意知两种形式的速率相等，即$v=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$
联立解得$L=\frac{4}{5}R$
答：（1）求第一种形式下，运动星体的速率v为$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$和角速度ω为$\sqrt{\frac{5Gm}{4{R}_{\;}^{3}}}$；
（2）假设两种形式下运动星体的速率相同，第二种形式下星体之间的距离L为$\frac{4}{5}R$

点评 解决本题的关键知道行星做圆周运动向心力的来源，以及会通过几何关系求出做圆周运动的轨道半径．