Question

5．2012年是地球同步卫星发射频繁的一年．所谓地球同步卫星是指绕地球做匀速圆周运动的周期等于地球自转周期，定点地球赤道上空的卫星．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，某地球同步卫星的质量为m，绕地球运行的速度大小为v，引力常量为G．有关该地球同步卫星，下列表述正确的是（　　）

• A． 卫星运行的轨道半径为$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
• B． 卫星的运行速度方向与地球自转的速度方向相同，速度大小大于第一宇宙速度
• C． 卫星的轨道平面一定过地心，运行时受到的向心力大小为G$\frac{mM}{{R}^{2}}$
• D． 卫星运行的向心加速度可以表示为$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，列式求解卫星的轨道半径．第一宇宙速度是卫星绕地球圆周运动的最大速度．卫星运行的向心加速度可以表示为$\frac{2πv}{T}$．

解答 解：A、设地球同步卫星的轨道半径为r，由万有引力等于向心力可得，G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²，解得卫星轨道半径r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，距离地面的高度为H=r-R=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R，故A错误；
B、第一宇宙速度是卫星绕地球圆周运动的最大速度，卫星的运行速度方向与地球自转的速度方向相同，速度大小小于第一宇宙速度，故B错误；
C、卫星的轨道平面一定过地心，运行时受到的向心力大小为G$\frac{mM}{{r}^{2}}$，故C错误；
D、卫星运行的向心加速度a=r（$\frac{2π}{T}$）²=v（$\frac{2π}{T}$）=$\frac{2πv}{T}$，故D正确．
故选：D

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，常常根据这两个关系即可列式求解．