Question

（2011?厦门模拟）如图所示，一面积为S单匝圆形金属线圈与阻值为R的电阻连结成闭合回路，不计圆形金属线圈及导线的电阻．线圈内存在一个方向垂直纸面向内、磁感应强度均匀增加且变化率为k的磁场B_t．电阻两端并联一对平行金属板M、N，N板右侧xOy坐标系（坐标原点O在N板的下端）的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OA和y轴的夹角∠AOy=45°，AOx区域为无场区．在靠近M板处的P点由静止释放一质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），经过N板的小孔，从Q（0，a）点垂直y轴进入第I象限，经OA上某点离开磁场，最后垂直x轴离开第I象限．求：
（1）平行金属MN获得的电压U；
（2）yOA区域匀强磁场的磁感应强度B；
（3）若改变磁感应强度的大小，带电粒子进入磁场偏转后能打到N板的右侧，设粒子与N板碰撞前后电量保持不变并以相同的速率反弹，不计粒子与N板碰撞的作用时间，则带电粒子在磁场中运动的极限时间是多少？

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律，求出闭合电路的电动势即平行金属MN获得的电压U；
（2）正确画出粒子运动的轨迹图，根据几何关系找出粒子运动 的半径的大小，代人公式求得磁场的磁感应强度；
（3）当r′为无穷小，经过n个半圆运动，最后一次打到O点．

解答：解：（1）根据法拉第电磁感应定律，闭合电路的电动势为：E=

△φ

△t

=

△B

△t

?S=kS①
因MN与电阻并联，故MN获得的电压：U=U_R=E=kS②
（2）带电粒子在MN间做匀加速直线运动，有：qU=

1

2

mv 2③
带电粒子进入磁场区域运动轨迹如图所示，
有：qvB=m

v 2

r

④
由几何关系得：r+rtan45°=a⑤
由②③④⑤得：B=

2

a

2mks q

⑦
（3）设粒子运动圆周半径为r′，r′=

mv

qB

，当r′越小，最后一次打到N板的点的越靠近O点，在磁场中圆周运动累积路越大，时间越长，当r′为无穷小，经过n个半圆运动，最后一次打到O点，有：n=

a

2r′

⑧
圆周运动周期：T=

2π?r′

v

⑨
最长的根限时间：tm=n

T

2

⑨
由②③⑧⑨⑩式得：tm=

π?a

2v

=

π?a

2

m 2qkS

⑩
答：（1）平行金属MN获得的电压kS；（2）yOA区域匀强磁场的磁感应强度B=

2

a

2mks q

；（3）带电粒子在磁场中运动的极限时间是

π?a

2

m 2qkS

．

点评：本题是粒子在磁场中匀速圆周运动和电磁感应的综合．磁场中圆周运动常用方法是画轨迹，由几何知识求半径．