Question

11．一人拉着行李箱（可视为质点）停在倾角为37°的斜面上接电话，某时刻突然松手，行李箱沿斜面向下运动，如图所示．松手时行李箱距离斜面底端4.5m．水平面上距离斜面底端s=7m处有一壕沟，设行李箱与斜面和水平面间的动摩擦因数均为0.25，且从斜面运动到水平面时速度大小不变，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则：
（1）通过计算说明，行李箱是否能滑入壕沟？
（2）人在行李箱运动0.5s后，立即匀速率追赶行李箱．若行李箱不能滑入壕沟，求人在行李箱停下前追上行李箱的最小速率；若行李箱能滑入壕沟，求人在行李箱滑入壕沟前追上行李箱的最小速率．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出行李箱在水平面上滑行的最大距离，即可判断是否能滑入壕沟．
（2）根据追上时路程相等，运用运动学位移公式列式求解．

解答 解：（1）设行李箱在水平面上滑行的最大距离为L．已知松手时行李箱距离斜面底端的距离 s₁=4.5m
根据动能定理得：
   mgs₁sin37°-μmgcos37°•s₁-μmgL=0
解得 L=7.2m＞s=7m，所以行李箱能滑入壕沟
（2）根据牛顿第二定律得，行李箱下滑的加速度${a}_{1}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=6-0.25×8m/s²=4m/s²，
行李箱到达底端的速度${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}{s}_{1}}=\sqrt{2×4×4.5}$m/s=6m/s，在斜面上运动的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{6}{4}s=1.5s$，
行李箱在水平面上的加速度大小${a}_{2}=μg=0.25×10m/{s}^{2}=2.5m/{s}^{2}$，
行李箱运动到壕沟处的速度${v}_{2}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}-2{a}_{2}s}=\sqrt{36-2×2.5×7}$m/s=1m/s，
则在水平面上运动的时间${t}_{2}=\frac{{{v}_{1}-v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{6-1}{2.5}s=2s$，
可知人的最小速率v=$\frac{{s}_{1}+s}{{t}_{1}+{t}_{2}-0.5}=\frac{4.5+7}{1.5+2-0.5}m/s$=3.83m/s．
答：（1）行李箱能滑入壕沟；
（2）人在行李箱滑入壕沟前追上行李箱的最小速率为3.83m/s．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，对于第二问，关键抓住路程关系，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．