题目内容

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（1）小滑块从圆弧顶端滑到底端的过程中克服摩擦力做的功；
（2）两板长度L1与L2之比．

分析 （1）根据小滑块C过圆弧底端时受力情况，由牛顿第二定律求出C到达圆弧底端时的速度，再由动能定理求小滑块从圆弧顶端滑到底到的过程中克服摩擦力做的功；
（2）C在A上滑行时，AB一起做匀加速运动，C做匀减速运动，以三个物体组成的系统为研究对象，系统的动量守恒，能量也守恒，由动量守恒定律和能量守恒定律分别列式．再研究C在B上滑行的过程，由BC组成的系统动量守恒和能量守恒列式，即可求解两板长度L1与L2之比．

解答 解：（1）设小滑块C到达圆弧底端时的速度为v0，轨道对C的支持力大小为N，下滑过程C克服摩擦力做的功为Wf．
由动能定理，有：
  mgR-Wf=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-0…①
C过圆弧底端时，由牛顿第二定律，有：N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
由牛顿第三定律，知：N=1.5mg…③
联立①②③式得：Wf=$\frac{3}{4}$mgR…④
（2）设C刚滑过A到达B时，C的速度为vC，A、B的速度为v，B、C共同速度为vBC，C与A、B间的摩擦力为f．
C从滑上A到刚滑到B这个过程，C和A、B组成的系统动量守恒．取向右为正方向．
由动量守恒守律：mv0=mvC+4mv…⑤
由功能关系：fL1=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}$×4mv2）…⑥
C滑上B到与B共速这个过程，对C和B组成的系统，
由动量守恒定律：mvC+2mv=（m+2m）vBC …⑦
由功能关系：fL2=$\frac{1}{2}$$m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$×3mvBC2…⑧
或：C从滑上A到与B共速的全过程，由动量守恒定律：mv0=2mv+（m+2m）vBC …⑨
由功能关系：f（L1+L2）=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$-（$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}$×3mvBC2）…⑩
⑤⑦⑨任两式联立并代入vB=0.3v0得：v=0.05v0，vC=0.8v0
⑥⑧⑩任两式联立并代入v=0.05v0，vC=0.8v0得：$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}$=$\frac{14}{15}$…（11）
答：（1）C从圆弧顶端滑到底到的过程中克服摩擦力做的功是$\frac{14}{15}$mgR；
（2）两板长度L1与L2之比14：15．

点评 本题的关键明确滑块和木板的运动规律，会运用动量守恒定律列式求解共同速度，知道内能的增加量等于一对滑动摩擦力做功的绝对值，也可以用其他方法研究，如运动学公式和牛顿第二定律结合求解．

练习册系列答案
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