Question

如图所示，光滑的

1

4

圆弧轨道AB、EF，半径AO、O′F均为R且水平．质量为m、长度也为R的小车静止在光滑水平面CD上，小车上表面与轨道AB、EF的末端B、E相切．一质量为m的物体（可视为质点）从轨道AB的A点由静止开始下滑，由末端B滑上小车，小车立即向右运动．当小车右端与壁DE刚接触时，物体m恰好滑动到小车右端且相对于小车静止，同时小车与壁DE相碰后立即停止运动但不粘连，物体继续运动滑上圆弧轨道EF，以后又滑下来冲上小车．求：
（1）水平面CD的长度；
（2）物体m滑上轨道EF的最高点相对于E点的高度h；
（3）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后，小车立即向左运动．如果小车与壁BC相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端多远？

Answer 1

分析：（1）物体从轨道AB下滑过程，机械能守恒，由机械能守恒定律求出物体从A滑至B点时速度．物体在小车滑动的过程，系统的动量守恒，当物体与小车相对静止时，两者速度相同，根据动量守恒可求出共同速度．再根据动能定理分别对物体和小车列式，即可求解CD的长度．
（2）物体滑上EF的过程，只有重力做功，其机械能守恒，即可由机械能守恒定律求解h．
（3）物体从EF滑下后并滑上小车后，当物体与小车达到相对静止，有共同速度，由动量守恒求出共同速度，结合动能定理对小车和物体研究，分别求出物体相对小车的位移和小车滑行的位移．从而得出Q点距小车右端的距离．

解答：解：（1）设物体从A滑至B点时速度为v₀，根据机械能守恒，有
  mgR=

1

2

mv

2 0

设小车与壁DE刚接触时物体及小车达到的共同速度为v₁，根据动量守恒定律，有
  mv₀=2mv₁
设二者之间摩擦力为f，则
对物体：-fgs_CD=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

mv

2 0

对小车：f（s_CD-R）=

1

2

m

v

2 1

解得：s_CD=

3

2

R
（2）车与ED相碰后，物体以速度v₁冲上EF，则
 

1

2

m

v

2 1

=mgh，
解得：h=

R

4

（3）由第（1）问可求得：f=

1

2

mg，v₁=

gR 2

物体从轨道EF滑下并再次滑上小车后，设它们再次达到共同速度为v₂，物体相对车滑行距离s₁，则 mv₁=2mv₂                                       
 fs₁=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

×2m

v

2 2

，
解得：s₁=

1

4

R
s₁＜R，说明在车与BC相碰之前，车与物体达到相对静止，以后一起匀速运动直到小车与壁BC相碰．车停止后物体将做匀减速运动，设相对车滑行距离s₂，则
 fs₂=

1

2

m

v

2 2

，
解得：s₂=

1

8

R
所以物体最后距车右端 s_总=s₁+s₂=

3

8

R
 答：
（1）水平面CD的长度为

3

2

R；
（2）物体m滑上轨道EF的最高点相对于E点的高度h为

R

4

；
（3）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后，小车立即向左运动．如果小车与壁BC相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端为

3

8

R．

点评：本题综合考查了动能定理、机械能守恒定律以及能量守恒定律，关键是理清运动的规程，选择合适的规律进行求解．