Question

（2009?南京一模）如图所示，足够长的木板质量M=10kg，放置于光滑水平地面上，以初速度v₀=5m/s沿水平地面向右匀速运动．现有足够多的小铁块，它们的质量均为m=1kg，在木板上方有一固定挡板，当木板运动到其最右端位于挡板正下方时，将一小铁块贴着挡板无初速度地放在木板上，小铁块与木板的上表面间的动摩擦因数μ=0.5，当木板运动了L=1m时，又无初速地贴着挡板在第1个小铁块上放上第2个小铁块．只要木板运动了L就按同样的方式再放置一个小铁块，直到木板停止运动．（取g=10m/s²）试问：
（1）第1个铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度多大？
（2）最终木板上放有多少个铁块？
（3）最后一个铁块放上后，木板再向右运动的距离是多少？

Answer 1

分析：（1）第1个铁块放上后，木板受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解木板运动了L时的速度．
（2）假设最终有n个铁块能放在木板上，由牛顿第二定律求出此时的加速度，再由速度位移关系式分析第1个铁块、第2个铁块…第n个铁块放上后木板的速度，当木板的速度为0时，确定铁块的个数．
（3）由上分析得到放上n-1块铁块时木板的位移与速度，再由速度位移关系式求出后一个铁块放上后，木板再向右运动的距离．

解答：解：（1）第1个铁块放上后，木板做匀减速运动，
即有：μmg=Ma₁，2a₁L=v₀²-v₁²
代入数据解得：v₁=2

6

m/s．
（2）设最终有n个铁块能放在木板上，则木板运动的加速度大小为：
  a_n=

μnmg

M

第1个铁块放上后：2a₁L=v₀²-v₁²
第2个铁块放上后：2a₂L=v₁²-v₂²
   …
第n个铁块放上后：2a_nL=

v

2 n-1

-

v

2 n

由上可得：（1+2+3+…+n）?2

μmg

M

L=v₀²-

v

2 n

木板停下时，v_n=0，解得n=6.6．
即最终有7个铁块放在木板上．
（3）从放上第1个铁块至刚放上第7个铁块的过程中，由（2）中表达式可得：
  

6×(6+1)

2

?2

μmg

M

L=v₀²-v₆²
从放上第7个铁块至木板停止运动的过程中，设木板发生的位移是d，则：
   2?

7μmg

M

d=v₆²-0
解得：d=

4

7

m．
答：（1）第1个铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度是2

6

m/s．
（2）最终木板上放有7个铁块．
（3）最后一个铁块放上后，木板再向右运动的距离是

4

7

m．

点评：本题是物理上数列类型的问题，运用归纳法总结规律，得到速度的通项是关键．