Question

如图所示，竖直放置的气缸内盛有气体，上面被一活塞盖住，活塞通过劲度系数k=600N/m的弹簧与气缸相连接，系统处于平衡状态，已知此时外界大气压强p=1.00×10⁵N/m²，活塞到缸底的距离l=0.500m，缸内横截面积S=1.00×10²m²，今在等温条件下将活塞缓慢上提到距缸底为2l处，此时提力为F=500N，弹簧的原长l应为多少？若提力为F=700N，弹簧的原长l又应为多少？不计摩擦及活塞和弹簧的质量，并假定在整个过程中，气缸不漏气，弹簧都遵从胡克定律．

Answer 1

【答案】分析：假设弹簧处于伸长状态，根据活塞平衡列出前后两次状态下封闭气体的压强表达式，根据玻意耳定律得到含有原长l的方程，分别讨论提力为F=500N和提力为F=700N时，弹簧的状态得出弹簧的原长．
解答：解：设弹簧的原长为l，气体原来压强为p，后来为p′，则由玻意耳定律可得
      pl=p′?2l              ①
在原来状态下，活塞受力如图1所示，由力学平衡可得

     pS=pS+k（l-l）         ②
在后来状态下，活塞受力如图2所示，由力学平衡可得
    p′S+F=pS+k（2l-l）   ③
由①、②、③联立解得P=      ④
由式得l=l+    ⑤
   当F=500N时，由④式得p=0.4p 再代入⑤式得l=1.50m，可见在整个过程中弹簧始终处于压缩状态．
   当F=700N时，由④式得p=0.8p 再代入⑤式得l=0.833m，可见在过程开始时弹簧处于压缩状态，当活塞提高到距缸底距离超过l=0.833m后，弹簧被拉伸．
点评：本题也可以假设弹簧原来处于压缩状态，根据玻意耳定律研究弹簧原长．对于题设条件不确定时，要分情况进行讨论．