Question

6．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的长为2a，宽为a的矩形有界匀强磁场（边界有磁场），在第三象限存在于y轴正向成30°角的匀强电场．现有一质量为m，电荷量为+q的粒子从电场中的P点由静止释放，经电场加速后从O点进入磁场．不计粒子的重力．
（1）若粒子从磁场下边界射出，求粒子在磁场中运动的时间t；
（2）若粒子从磁场右边界射出，求PO间的电势差U_PO的范围；
（3）若粒子从磁场上边界射出，求磁场上边界有粒子射出的区域的长度．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出粒子转过的圆心角，然后根据粒子的周期公式求出粒子的运动时间．
（2）粒子在电场中加速，由动能定理可以求出粒子进入磁场时的速度；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识求出粒子的轨道半径，由牛顿第二定律列方程，解方程组可以求出OP间的电势差；
（3）根据粒子运动轨迹与粒子轨道半径，应用几何知识可以求出磁场上边界有粒子射出的区域的长度．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，
若粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间为：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{mθ}{qB}$，
从图中几何关系可知，β=$\frac{2}{3}$π，
所以时间为：t=$\frac{mβ}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
从磁场右边界射出的最小速度的粒子，在磁场中做圆周运动的半径最小．
如图所示，粒子从右边界以最小速度qB射出时轨道2对应的半径最小，

由几何关系可知：R₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
由牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
带电粒子在电场中，由动能定理：qU_PO=$\frac{1}{2}$mv²，
联立得：U_PO1=$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{3m}$，
如图所示，粒子从右边界以最大速度射出时轨道3对应的半径最大，
根据几何关系可知：R₃-a=R₃sin30°，
解得：R₃=2a，
解得：U_PO2=$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{m}$，
则粒子从磁场右边界射出，$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{3m}$≤U_PO≤$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{m}$；
（3）由图中的几何关系可知：

磁场上边界粒子射出的区域的长度：
l_AB=R₃cos30°-atan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a；
答：（1）若粒子从磁场下边界射出，子在磁场中运动的时间t为$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）若粒子从磁场右边界射出，PO间的电势差U_PO的范围是$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{3m}$≤U_PO≤$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{m}$；
（3）若粒子从磁场上边界射出，磁场上边界有粒子射出的区域的长度是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、应用动能定理、牛顿第二定律、圆周运动的周期公式即可正确解题，解题时注意数学知识的应用．