Question

11．如图所示，水平地面和半径R=0.5m的半圆轨道面PTQ均光滑，质量M=1kg、长L=4m的小车放在地面上，右端点与墙壁的距离为s=3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（可视为质点）以v₀=6m/s的水平初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上．已知滑块与小车上表面的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求小车与墙壁碰撞时滑块的速率；
（2）求滑块到达P点时对轨道的压力；
（3）若圆轨道的半径可变但最低点P不变，为使滑块在圆轨道内滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径的取值范围．

Answer 1

分析 （1）假设小车与墙壁碰撞前有共同速度，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出此过程中滑块与小车的相对位移，判断小车与墙壁碰撞前滑块与小车的速度是否相同，并求出小车与墙壁碰撞时的速度；
（2）根据动能定理和牛顿运动定律求解
（3）若滑块恰能滑过圆的最高点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出滑块经过最高点时的速度，根据动能定理求出轨道半径；若滑块恰好滑至$\frac{1}{4}$圆弧到达T点时就停止，滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．根据动能定理求解半径，即能得到半径的条件．

解答 解：（1）滑块滑上小车后，小车将做匀加速直线运动，滑块将做匀减速直线运动，设滑块加速度为a₁，小车加速度为a₂，由牛顿第二定律得：
对滑块有：-μmg=ma₁
对小车有：μmg=Ma₂
当滑块相对小车静止时，两者速度相等，设小车与滑块经历时间t后速度相等，则有：
v₀+a₁t=a₂t
滑块的位移为：
s₁=v₀t+$\frac{1}{2}$a₁t²
小车的位移为：s₂=$\frac{1}{2}$a₂t²
代入数据得△s=s₁-s₂=3 m＜L
且s₂＜s，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，故小车与墙壁碰撞时的速率为：
v₁=a₂t=4 m/s
（2）设滑块到达P点时的速度为v_P，由动能定理知：
-μmg（L-△s）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$   
F_N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律有滑块到达P点时对轨道的压力F_N′=F_N=68 N，方向竖直向下
（3）若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速率为v_Q，临界条件为：mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{max}}$
-mg•2R_max=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$     
代入数据得：R_max=0.24 m
若滑块恰好滑至1/4圆弧到达T点时速度为零，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，此时有：
-mgR_min=0-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{p}^{2}$        
代入数据解得：R_min=0.6 m
所以，若滑块在圆轨道运动过程中不脱离圆轨道，则半圆轨道的半径必须满足R≤0.24 m或R≥0.60 m
答：（1）小车与墙壁碰撞时滑块的速率为4m/s；
（2）滑块到达P点时对轨道的压力为68N；
（3）若圆轨道的半径可变但最低点P不变，为使滑块在圆轨道内滑动的过程中不脱离轨道，则半圆轨道的半径必须满足R≤0.24 m或R≥0.60 m．

点评 本题通过计算分析小车与墙壁碰撞前滑块与小车的速度是否相同是难点．第2题容易只考虑滑块通过最高点的情况，而遗漏滑块恰好滑至$\frac{1}{4}$圆弧到达T点时停止的情况，要培养自己分析隐含的临界状态的能力．