Question

20．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m，细线AC长l，B点距C点的水平距离和竖直距离相等．（cos37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$） 
（1）当装置处于静止状态时，求AB和AC细线上的拉力大小；
（2）若AB细线水平且拉力等于重力的一半，求此时装置匀速转动的角速度ω₁的大小；
（3）若要使AB细线上的拉力为零，求装置匀速转动的角速度ω的取值范围．（提示ω应在一个最大值和一个最小值之间变化才能保证AB细线拉力为零．）

Answer 1

分析 （1）静止时受力分析，根据平衡条件列式求解；
（2）对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律列式即可求解；
（3）当细线AB张力为零时，绳子AC拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的范围．

解答 解：（1）对小球进行受力分析，由平衡条件得：
T_AB=mgtan37°=0.75mg，
${T}_{AC}=\frac{mg}{cos37°}=1.25mg$
（2）根据牛顿第二定律得：
Tcosθ=mg，
Tsinθ-${T}_{AB}=m{{ω}_{1}}^{2}lsinθ$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{5g}{12l}}$
（3）由题意，当ω最小时，绳AC与竖直方向的夹角α=37°，受力分析，如图，则有：
$mgtanα=m（lsinα）{{ω}_{min}}^{2}$
解得：${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$
当ω最大时，绳AC与竖直方向的夹角β=53°，则有：
$mgtanβ=m（lsinβ）{{ω}_{max}}^{2}$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$，
所以ω的取值范围为：$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
答：（1）当装置处于静止状态时，AB细线上的拉力为0.75mg，AC细线上的拉力大小为1.25mg；
（2）若AB细线水平且拉力等于重力的一半，此时装置匀速转动的角速度ω₁的大小为$\sqrt{\frac{5g}{12l}}$；
（3）若要使AB细线上的拉力为零，装置匀速转动的角速度ω的取值范围为$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．

点评 解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．