Question

19．如图所示，边长为l的正方形abcd区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电子从ad的中点M处沿垂直ad的方向射入磁场，恰好从c点射出．已知电子质量为m，带电量为-e，求：
（1）用直尺、圆规和铅笔画出电子的运动轨迹；
（2）电子入射时的速度v大小；
（3）若增大电子的入射速度，试定性判断电子在磁场中的运动时间如何变化．

Answer 1

分析 （1）由初速度方向及运动轨迹上两点得到半径的几何关系，从而求取半径，进而求得轨迹；
（2）由洛伦兹力做向心力求解即可；
（3）由洛伦兹力做向心力可得增大速度，周期不变，半径变大，进而得到中心角变小，从而得到运动时间减小．

解答 解：（1）电子从ad的中点M处沿垂直ad的方向射入磁场，恰好从c点射出，则电子做圆周运动的圆心在ad的延长线上，则有如图所示的几何关系，即${R}^{2}=（R-\frac{1}{2}l）^{2}+{l}^{2}$，所以，$R=\frac{5}{4}l$；
那么用直尺沿ad方向画延长线，选取距M为$\frac{5}{4}l$的点，以该点为圆心，用圆规在磁场区域画圆弧，所得圆弧即为电子的运动轨迹；
（2）电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力做向心力即$Bve=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{BeR}{m}=\frac{5Bel}{4m}$；
（3）由洛伦兹力做向心力可知，增大电子的入射速度，则电子的运动半径增大，那么电子从相同位置离开磁场对应的中心角变小，且从c点离开对应的中心角最大，故增大电子的入射速度，电子在磁场中转过的中心角一定减小；又有，电子做圆周运动的周期$T=\frac{2πR′}{v′}=\frac{2πm}{Be}$不变，所以，电子在磁场中的运动时间减小；
答：（2）电子入射时的速度v大小为$\frac{5Bel}{4m}$；
（3）若增大电子的入射速度，则电子在磁场中的运动时间减小．

点评 带电粒子在磁场中运动，一般先由洛伦兹力做向心力求得半径的表达式，然后在由几何关系求得半径的值，然后联立求解．