Question

10．如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R的光滑半圆槽轨道，其底端恰好与水平面相切，质量为m的小球以大小为V₀的初速度经半圆槽轨道最低点B滚上半圆槽，小球恰能通过最高点C后落回到水平面上的A点．（不计空气阻力，重力加速度为g）求：
（1）小球通过B点时对半圆槽的压力大小；
（2）A、B两点间的距离．
（3）小球落到A点时的速度方向．

Answer 1

分析 （1）对小球在B点时受力分析，根据牛顿第二定律求B受到的支持力，进而由牛顿第三定律得到B对圆槽的压力；
（2）小球恰能通过最高点C，即重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球在C点的速度，小球离开C点后作平抛运动，根据平抛运动的特点求出AB两点间的距离．
（3）根据平抛运动的规律求解小球落到A点时的速度方向．

解答 解：（1）在B点小球做圆周运动，
F-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：F=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律知小球通过B点时对半圆槽的压力大是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）在C点小球恰能通过，故只有重力提供向心力，
则mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，v_C=$\sqrt{gR}$
过C点小球做平抛运动：s_AB=v_Ct
h=$\frac{1}{2}$gt²　
h=2R
联立以上各式可得s_AB=2R．
（3）根据平抛运动的规律得小球落到A点时竖直方向速度v_y=$\sqrt{2gh}$=2$\sqrt{gR}$，
所以小球落到A点时的速度方向与水平方向夹角的正切值tanθ=2．
答：（1）小球通过B点时对半圆槽的压力大小是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）AB两点间的距离2R．
（3）小球落到A点时的速度方向与水平方向夹角的正切值等于2．

点评 本题关键是明确小球的运动情况，然后分过程运用平抛运动的分位移公式和向心力公式列式求解．