Question

16．如图，边长为20cm的正方形线圈共100匝，线圈的直流电阻为r=2Ω，它在B=3.5T的匀强磁场中绕中心轴以n=1200转/分匀速转动，转轴与磁场方向垂直，外电路中的电阻R=98Ω，若从中性面开始计时，求：
（1）线圈中感应电动势和感应电流的瞬时值表达式；
（2）线圈从中性面转过30°角时，感应电动势的大小；
（3）交流电表的示数及电阻R消耗的电功率；
（4）从开始计时起经过半个周期的过程中，通过电阻R电量；
（5）画出e-t图象．

Answer 1

分析 （1）图示位置是中性面，从中性面计时，感应电动势瞬时值的表达式为e=E_msinωt，其中E_m=nBSω．
（2）根据表达式可求得转过30度时的瞬时值；
（3）可根据焦耳定律Q=$\frac{{E}^{2}}{R}$t求热量，E是电动势有效值，与最大值的关系为E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$．
（4）根据电量表达式，结合闭合电路欧姆定律与法拉第电磁感应定律，即可求解．
（5）明确表达式，根据角速度求出周期，则可得出对应的图象．

解答 解：（1）线圈转动的角速度ω=2πn=2π×20=40π；
感应电动势的最大值Em=NBSω=100×3.5×0.2×0.2×40π=560π；
因从中性面开始计时，故电动势表达式为e=560sin40πt；
电流的瞬时表达式i=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$sin40πt=$\frac{560π}{2+98}$sin40πt=5.6πsin40πt；
（2）线圈从中性面转过30°角时，感应电动势的大小
e=560πsin30°=280πV；
（3）交流电表显示的为有效值，则U=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}（R+r）}R$=$\frac{560π}{\sqrt{2}（2+98）}×98$=388πV；
R消耗的电功率P=$\frac{{U}^{2}}{R}$=$\frac{（388π）^{2}}{98}$=1.54×10⁴W；
（4）根据电量表达式：q=$\overline{I}•△t$=$\frac{\overline{E}}{R+r}•△t=\frac{2nBSω}{π（R+r）}•\frac{π}{2ω}$=$n\frac{BS}{R+r}$=$\frac{100×3.5×0.2×0.2}{2+98}$=0.14C；
（5）由以上分析可知，所得图象为正弦规律图象，最大值为560π，周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{40π}$=0.05s；
对应的图象如图所示；

答：（1）线圈中感应电动势和感应电流的瞬时值表达式分别为e=560sin40πt和i=5.6πsin40πt；
（2）线圈从中性面转过30°角时，感应电动势的大小为280πV；
（3）交流电表的示数及电阻R消耗的电功率为388πV和1.54×10⁴W；
（4）从开始计时起经过半个周期的过程中，通过电阻R电量为0.14C；
（5）画出e-t图象如图所示．

点评 本题考查交流电的电量、热量及电表示数等计算问题，要注意对于正弦交变电流表达式e=E_msinωt，要注意计时起点必须是中性面；要用有效值求解热量，而求电量时一定要用到平均电动势．