Question

15．在如图所示的圆锥摆中，已知绳子长度为L，绳子转动过程中与竖直方向的夹角为θ，试求小球做圆周运动的周期、角速度、线速度．

Answer 1

分析 对小球受力分析，小球受重力，绳的拉力，合力水平方向指向圆心，根据几何关系求解小球所受合力，再根据合力提供圆周运动向心力求得小球圆周运动的周期、角速度和线速度．

解答 解：如图对小球进行受力分析，受重力和绳子的拉力，
根据力的合成可知：F_合=mgtanθ
由图可知，小球圆周运动的半径为：r=Lsinθ
小球所受合力提供小球圆周运动的向心力有：
${F}_{合}=mgtanθ=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=mr{ω}^{2}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得小球圆周运动的周期为：T=$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}r}{gtanθ}}=2π\sqrt{\frac{Lsinθ}{gtanθ}}$=$2π\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$
小球的运动的角速度为：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{2π\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}}$=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
小球运动的线速度为：$v=\sqrt{grtanθ}$=$\sqrt{gLsinθtanθ}$
答：小球做圆周运动的周期为$2π\sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$，角速度为$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$，线速度为$\sqrt{gLsinθtanθ}$．

点评 解决本题的关键是知道小球在水平面内圆周运动的向心力由绳的拉力和重力的合力提供，正确的受力分析是正确解题的基础．