题目内容
如图所示，O为竖直平面内
圆弧轨道的圆心，B点的切线刚好沿水平方向．一个质量为m的滑块（可视为质点）从A点由静止开始滑下，最终落到地面上的C点．已知A点离地面的高度为h，圆弧轨道的半径为R，重力加速度为g．不计一切摩擦．求：
（1）滑块经B点时的速度大小；
（2）滑块经B点时对轨道的压力；
（3）在保证A点位置不变的情况下，改变圆弧轨道
的半径（总小于h），再让滑块从A点由静止滑下，A点到滑块落地点的水平距离最大是多少？此时圆弧轨道的半径是多大？
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（1）滑块经B点时的速度大小；
（2）滑块经B点时对轨道的压力；
（3）在保证A点位置不变的情况下，改变圆弧轨道
的半径（总小于h），再让滑块从A点由静止滑下，A点到滑块落地点的水平距离最大是多少？此时圆弧轨道的半径是多大？
（1）滑块从A到B的过程中，由机械能守恒得mgR=
m
解得 vB=
（2）滑块经B点时，由向心力公式有N-mg=m
解得 N=3mg
由牛顿第三定律知，滑块经B点时对轨道的压力大小为3mg，方向竖直向下．
（3）设轨道半径为r，滑块从B点开始做平抛运动，需时间t落地，则h-r=
gt2
平抛的水平距离 xBC=vBt
联立解得A、C两点的水平距离为 xAC=r+xBC=r+2
令r=hsin2θ，则AC两点的水平距离为xAC=h(sin2θ+2sinθcosθ)=h(
+sin2θ)=
(1-cos2θ+2sin2θ)
令tanφ=
，则xAC=
[1+
sin(2θ-φ)]，
显然当θ=
+
时，xAC有最大值为xm=
h
此时 r=hsin2θ=h
=
h=
h
答：（1）滑块经B点时的速度大小为vB=
．
（2）滑块经B点时对轨道的压力为3mg．
（3）A点到滑块落地点的水平距离最大是xm=
h，此时圆弧轨道的半径是r=
h．
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| v | 2B |
解得 vB=
| 2gR |
（2）滑块经B点时，由向心力公式有N-mg=m
| ||
| R |
解得 N=3mg
由牛顿第三定律知，滑块经B点时对轨道的压力大小为3mg，方向竖直向下．
（3）设轨道半径为r，滑块从B点开始做平抛运动，需时间t落地，则h-r=
| 1 |
| 2 |
平抛的水平距离 xBC=vBt
联立解得A、C两点的水平距离为 xAC=r+xBC=r+2
| r(h-r) |
令r=hsin2θ，则AC两点的水平距离为xAC=h(sin2θ+2sinθcosθ)=h(
| 1-cos2θ |
| 2 |
| h |
| 2 |
令tanφ=
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| h |
| 2 |
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显然当θ=
| π |
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| φ |
| 2 |
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| 2 |
此时 r=hsin2θ=h
1-cos(
| ||
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| 1+sinφ |
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答：（1）滑块经B点时的速度大小为vB=
| 2gR |
（2）滑块经B点时对轨道的压力为3mg．
（3）A点到滑块落地点的水平距离最大是xm=
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5+
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B．
D．
B．
D．