Question

15．长木板B放在光滑水平面上，小物体A以水平初速度v₀滑上B的上表面，它们的速度随时间变化的情况如图所示，则A与B的质量之比为1：2；B的长度至少为$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2}$；A克服摩擦力做的功与摩擦力对B做的功之比为4：1．

Answer 1

分析 （1）由题可知，AB的加速度是由于相互间的摩擦力而获得的，而两者受到的摩擦力时一对作用力和反作用力，大小相等，由图可得AB的加速，进而可得质量之比．
（2）由图可知时间为t₀时，A还没从B上掉落，由此可得AB的相对位移即为B的最小长度．
（3）由功的计算公式可以求出摩擦力做功之比．

解答 解：（1）由图可知，A的加速度大小为：a_A=$\frac{{v}_{0}-\frac{1}{3}{v}_{0}}{{t}_{0}}$=$\frac{2{v}_{0}}{3{t}_{0}}$，
B的加速度大小为：a_B=$\frac{\frac{{v}_{0}}{3}-0}{{t}_{0}}$=$\frac{{v}_{0}}{3{t}_{0}}$，
由牛顿第二定律：f=m_Aa_A，f=m_Ba_B，
解得：m_A：m_B=a_B：a_A=1：2；
（2）由图示图象可知，A做匀减速直线运动，B做匀加速直线运动，
然后它们共同做匀速直线运动，由图可知时间为t₀时，A还没从B上掉落，
此时A的位移为：s_A=$\frac{{v}_{0}+\frac{1}{3}{v}_{0}}{2}$×t₀=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{3}$，B的位移为：s_B=$\frac{\frac{{v}_{0}}{3}}{2}$×t₀=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{6}$，
故A、B的相对位移为：L=s_A-s_B=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2}$，此即为B的最小长度；
（3）A克服摩擦力做的功与摩擦力对B做的功之比为：$\frac{{W}_{A}}{{W}_{B}}$=$\frac{f{s}_{A}}{f{s}_{B}}$=$\frac{\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{3}}{\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{6}}$=$\frac{4}{1}$；
故答案为：1：2；$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2}$；4：1．

点评 本题考查了求质量之比、木板长度、摩擦力做功之比，由图示图象获取所需信息、应用牛顿第二定律、匀变速直线运动规律、功的计算公式即可正确解题，本题也可以应用动量守恒定律、动能定理分析答题．