Question

（18分）近代的材料生长和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子射散的影响，这种特点可望有新的应用价值。图l 所示为四端十字形。二维电子气半导体，当电流从l端进人时，通过控制磁场的作用，可使电流从 2，3或4端流出。对下面摸拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动。在图 2 中， a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸里。以B表示磁感应强度的大小。一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内以速度v₀沿与a、b都相切的方向由缝1射人磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用。试求B为何值时，该粒子能从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出。

   

Answer 1

解析：

解法一高.考.资.源.网

在图中纸面内取Oxy坐标（如图），原点在狭缝l处，x轴过缝1和缝3。粒子从缝1进入磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x轴相切，故其圆心必在y轴上．若以r表示此圆的半径，则圆方程为

            x²+(y－r)²=r²                   （1）

根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为

             x=2R－Rsin45⁰                （2）

             y=R－R cos45⁰                （3）

由（l）、（2）、（3）式得   r=3R          （4）

由洛仑兹力和牛顿定律有        （5）

由（4）、（5）式得               （6）

评分标准：本题 18 分。

（1）、（2）、（3）式各4分，（4）、（5）、（6）式各2分。

解法二

如图所示，A为a、b两圆圆心的连线与缝l的交点，F为c、d两圆圆心的连线与缝3的交点．从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d的表面发生弹性碰撞后，反弹进人缝2，这个过程一定对连结b、d 两圆圆心的直线OP对称，故直线OP与d圆的交点C必是碰度点。由于粒子在磁场中做圆运动过A点，因此这个轨道的圆心必在过A点并垂直于AF的直线AE上；同时这个轨道经过C点，所以轨道的圆心也一定在AC的垂直平分线DE上。这样AE与DE的交点E就是轨道的圆心，AE就是轨道的半径r。过C点作AF的垂线与AF交于H点，则

              高.考.资.源.网

有                                         （1）

由图可知

                                       （2）高.考.资.源.网

                                      （3）

                                    （4）

                                           （5）

由以上各式得  r=3R                                    （6）

由洛仑兹力和牛顿定律有                    （7）

得到                                          （8）

评分标准：本题 18 分。

（1）式8分，（2）、（3）（4）、（5）式各1分，（6）、（7）、（8）式各1分。