Question

如图所示，一个带有圆弧的粗糙滑板A的总质量m_A＝3 kg，其圆弧部分与水平部分相切于P，水平部分PQ长L＝3.75 m．开始时，A静止在光滑水平面上．现有一质量m_B＝2 kg 的小木块B从滑块A的右端以水平初速度v₀＝5 m/s 滑上A，小木块B与滑板A之间的动摩擦因数μ＝0.15，小木块B滑到滑板A的左端并沿着圆弧部分上滑一段弧长后返回，最终停止在滑板A上．

(1)求A、B相对静止时的速度大小．

(2)若B最终停在A的水平部分上的R点，P、R相距 1 m，求B在圆弧上运动的过程中因摩擦而产生的内能．

(3)若圆弧部分光滑，且除v₀不确定外其他条件不变，讨论小木块B在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面向右运动？如不可能，说明理由；如可能，试求出B既向右滑动，又不滑离木板A的v₀取值范围．(取g＝10 m/s²，结果可以保留根号)

Answer 1

解：

(1)根据动量守恒得：解得：v＝v₀＝2 m/s． ……②　1分

(2)设B在A的圆弧部分产生的热量为Q₁，在A的水平部分产生的热量为Q₂．由功能关系有：

m_Bv₀²＝(m_B＋m_A)v²＋Q₁＋Q₂　 ………………③ 2分

又Q₂＝μm_Bg(L_QP＋L_PR)　…………………④　 2分

联立②③④解得：Q₁＝0.75 J　 ………………⑤　 1分

(3)当B滑上圆弧再返回至P点时最有可能速度向右，设木块滑至P点的速度为v_B，此时A的速度为v_A，由动量守恒和功能关系得：

m_Bv₀＝m_Bv_B＋m_Av_A　…………………………⑥　 2分

m_Bv₀²＝m_Bv_B²＋m_Av_A²＋μm_BgL　………………⑦　 2分

联立⑥⑦代入数据得：v_B²－0.8v₀v_B＋6.75－0.2v₀²＝0 …⑧　 1分

当v_B的两个解一正一负时，表示B从圆弧滑下的速度向右．即需：v₀＞4.3 m/s，故B有可能相对地面向右运动． …………⑨　 1分

若要B最终不滑离A，有：μm_Bg·2L≥m_Bv₀²－(m_B＋m_A)(v₀)²　…⑩ 2分

得：v₀≤6.1 m/s　 ……………… 1分

故v₀的取值范围为：4.3 m/s＜v₀≤6.1 m/s． ……　 1分