Question

3．如图所示，光滑水平轨道与右侧竖直放置的半径为R的半圆轨道平滑连接，3个大小相同、质量不等的小球a、b、c．质量依次是3m、2m、m，b、c小球静止在水平轨道上，球a以初速度v₀向右运动与球b碰撞，球b再与球c碰撞，所有碰撞皆为无机械能损失的正碰．求：
①a球与b球碰撞后，b球的速度大小v₁；
②若要使c球碰撞后能过右侧轨道的最高点，半径R应满足什么条件？

Answer 1

分析 ①ab球碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，以a球初速度方向为正，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式求解；
②bc球碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，以b球初速度方向为正，根据动量守恒定律和机械能守恒定律求解碰撞后c的速度，当c球到达右侧最高点的速度为$v=\sqrt{gR}$时，恰好到达最高点，此过程中，根据动能定理求解最小半径．

解答 解：①ab球碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，以a球初速度方向为正，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
3mv₀=3mv₂+2mv₁，
$\frac{1}{2}×3m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×3m{{v}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：v₁=$\frac{6}{5}{v}_{0}$，
②bc球碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒，以b球初速度方向为正，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
2mv₁=2mv₃+mv₄，
$\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×2m{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}×m{{v}_{4}}^{2}$，
解得：v₄=$\frac{8}{5}{v}_{0}$，
当c球到达右侧最高点的速度为$v=\sqrt{gR}$时，恰好到达最高点，此过程中，根据动能定理有：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{4}}^{2}=-mg•2R$
解得：R=$\frac{64{{v}_{0}}^{2}}{125g}$
当R≤$\frac{64{{v}_{0}}^{2}}{125g}$时，c球碰撞后能过右侧轨道的最高点．
答：①a球与b球碰撞后，b球的速度大小v₁为$\frac{6}{5}{v}_{0}$；
②若要使c球碰撞后能过右侧轨道的最高点，半径R应满足什么条件R≤$\frac{64{{v}_{0}}^{2}}{125g}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律以及机械能守恒定律的直接应用，解题时要先规定正方向，知道c球到达最高点时的临界条件，难度适中．