Question

3．如图所示，粗糙水平面AC与光滑的竖直面内的固定半圆轨道在C点相切，轨道半径R=0.1m，一质量为m的小滑块（视为质点）从离C点为x的水平面上B处以初速度v₀向右运动，并冲上半圆轨道，从半圆轨道最高点D飞出后落在水平面上．落点到C点的距离为d．保持初速度v₀不变，多次改变x（单位为m）的大小，测出对应的d（单位为m）的大小，通过数据分析得出了d与x的函数关系为d²=-0.16x+0.48，取g=10m/s²，求：
（1）小滑块的初速度v₀的大小和小滑块与水平面间的动摩擦因数；
（2）x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理和平抛运动的规律得出d与x的关系式，对照d²=-0.16x+0.48，求解滑块的初速度v₀的大小和小滑块与水平面间的动摩擦因数．
（2）滑块通过D点的临界条件是重力等于向心力，由此求得x的取值范围．

解答 解：（1）滑块从B运动到D的过程，由动能定理得
-μmgx-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  
滑块从D离开后做平抛运动，则有
   2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   d=v_Dt
联立得 d²=-8μRx+$\frac{4R}{g}{v}_{0}^{2}$-16R²
代入数据解得 d²=-0.8μx+0.04v₀²-0.16
与d²=-0.16x+0.48对照可得 0.8μ=0.16，0.04v₀²-0.16=0.48
解得 μ=0.2，v₀=4m/s
（2）滑块通过D点的临界条件是重力等于向心力，则在D点有 mg=m$\frac{{v}_{D0}^{2}}{R}$
滑块从B运动到D的过程，由动能定理得
-μmgx-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得 x=2.5m
所以x的取值范围是 0＜x≤2.5m
答：
（1）小滑块的初速度v₀的大小是4m/s，小滑块与水平面间的动摩擦因数是0.2；
（2）x的取值范围是 0＜x≤2.5m．

点评 本题关键是明确小滑块的运动情况，然后分过程运用动能定理、平抛运动的分位移公式和向心力公式列式求解．